高等代数 · 课程学习笔记

第 P58 集 · 四：特殊矩阵、对角矩阵

Special Matrices and Diagonal Matrices
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P58 / 151 集 核心概念：基本矩阵 · 对角矩阵 · 数量矩阵 · 三角矩阵 · 子空间验证
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◎学习目标

  1. 掌握基本矩阵 \(E_{ij}\) 的定义与性质，理解其作为 \(M_{s\times n}(K)\) 的基的作用；
  2. 理解矩阵空间 \(M_{s\times n}(K)\) 的维数为 \(s \cdot n\)，并能验证子空间的两个条件；
  3. 掌握对角矩阵的定义及其对加法和乘法的封闭性；
  4. 理解数量矩阵是与任何方阵可交换的特殊矩阵；
  5. 理解上三角矩阵的定义及其对乘法的封闭性；
  6. 掌握对角矩阵左乘、右乘一个矩阵时的几何意义（逐行/逐列缩放）。

1基本矩阵 \(E_{ij}\) ⏱ 03:20

类比向量空间中基本向量 \(e_1, e_2, \dots, e_n\)（第 \(i\) 个分量为 1，其余为 0），在矩阵空间中我们有类似的基本矩阵。

定义 · 基本矩阵 \(s \times n\) 矩阵 \(E_{ij}\)（其中 \(1 \leq i \leq s\)，\(1 \leq j \leq n\)）定义为：第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素为 1，其余元素全为 0 的矩阵。
\[ (E_{ij})_{kl} = \delta_{ik}\,\delta_{jl} = \begin{cases} 1, & k=i,\; l=j,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \]

例如，\(E_{23}\) 是一个第二行第三列为 1、其余全为 0 的矩阵。⏱ 03:40

证明 \(\{E_{ij}\}\) 构成 \(M_{s\times n}(K)\) 的基

线性表出性：对任意 \(s \times n\) 矩阵 \(A = (a_{ij})\)，可以写成

\[ A = \sum_{i=1}^{s}\sum_{j=1}^{n} a_{ij} E_{ij}. \]

验证：右侧每个 \(a_{ij}E_{ij}\) 仅在 \((i,j)\) 位置有值 \(a_{ij}\)，求和后恰好得到 \(A\) 的所有元素。⏱ 06:26

线性无关性：设 \(\sum_{i,j} k_{ij} E_{ij} = O\)（零矩阵），则左侧矩阵的第 \((i,j)\) 元为 \(k_{ij}\)，故所有 \(k_{ij} = 0\)。⏱ 07:10

因此 \(\{E_{ij} \mid 1\leq i\leq s,\; 1\leq j\leq n\}\) 是 \(M_{s\times n}(K)\) 的一组基。

2矩阵空间的维数 ⏱ 08:35

由上述基的结果，立得：

定理 \(s \times n\) 矩阵组成的线性空间 \(M_{s\times n}(K)\) 的维数为
\[ \dim M_{s\times n}(K) = s \cdot n. \]
特别地，\(n\) 级方阵空间 \(M_n(K)\) 的维数为 \(n^2\)。⏱ 09:30

这一结论非常重要：矩阵空间本质上是 \(sn\) 维的向量空间，每个矩阵由 \(sn\) 个独立参数（元素）唯一确定。⏱ 09:01

3对角矩阵及其运算 ⏱ 10:00

定义 · 对角矩阵 \(n\) 级方阵 \(\mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)\) 是指主对角线上元素为 \(d_1, d_2, \dots, d_n\)，主对角线以外全为 0 的矩阵：
\[ \mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n) = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n \end{pmatrix}. \]
对角矩阵对加法和数乘构成子空间

非空：零矩阵是对角矩阵（所有 \(d_i = 0\)）。⏱ 11:01

加法封闭：两个对角矩阵相加，对应主对角元相加，非对角元仍为 0，结果仍为对角矩阵。

数乘封闭：数量 \(k\) 乘对角矩阵，每个主对角元乘 \(k\)，结果仍为对角矩阵。

故所有 \(n\) 级对角矩阵构成 \(M_n(K)\) 的一个子空间，其维数为 \(n\)（基为 \(E_{11}, E_{22}, \dots, E_{nn}\)）。

对角矩阵左乘和右乘的规律

设 \(D = \mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_s)\) 为 \(s \times s\) 对角矩阵，\(A\) 为 \(s \times n\) 矩阵。

对角矩阵左乘 \(DA\) 的效果是：将对角矩阵的第 \(i\) 个对角元 \(d_i\) 乘到 \(A\) 的第 \(i\) 行上。
\[ DA = \begin{pmatrix} d_1\gamma_1 \\ d_2\gamma_2 \\ \vdots \\ d_s\gamma_s \end{pmatrix}, \]
其中 \(\gamma_i\) 是 \(A\) 的第 \(i\) 行（行向量）。⏱ 14:00
对角矩阵右乘 设 \(D' = \mathrm{diag}(d'_1, \dots, d'_n)\) 为 \(n \times n\) 对角矩阵，\(A\) 为 \(s \times n\) 矩阵，则 \(AD'\) 的效果是：将对角矩阵的第 \(j\) 个对角元 \(d'_j\) 乘到 \(A\) 的第 \(j\) 列上。
\[ AD' = \bigl( d'_1\alpha_1,\; d'_2\alpha_2,\; \dots,\; d'_n\alpha_n \bigr), \]
其中 \(\alpha_j\) 是 \(A\) 的第 \(j\) 列（列向量）。⏱ 15:02

两个对角矩阵相乘仍是同阶对角矩阵，且乘法可交换：⏱ 13:00

\[ \mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n)\cdot\mathrm{diag}(c_1,\dots,c_n) = \mathrm{diag}(d_1c_1,\dots,d_nc_n). \]

4数量矩阵 ⏱ 16:20

定义 · 数量矩阵 主对角线上所有元素都等于同一个数 \(k\) 的对角矩阵称为数量矩阵，记作 \(kI_n\)（或简写为 \(kI\)）：
\[ kI_n = \begin{pmatrix} k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & k \end{pmatrix} = k\cdot I_n. \]

数量矩阵是特殊的对角矩阵（所有对角元相等）。

数量矩阵的重要性质 数量矩阵与任意同阶方阵乘法可交换：对任意 \(n\) 级矩阵 \(A\)，
\[ (kI)A = kA = A(kI). \]
证明：\((kI)A\) 按对角矩阵左乘规律，每行乘 \(k\)，即 \(kA\)；同理 \(A(kI) = kA\)。⏱ 19:05
注 矩阵乘法一般不可交换（\(AB \neq BA\)），但数量矩阵是个例外——它与任何同阶方阵都可交换。这也是数量矩阵 \(kI\) 与纯量乘法 \(kA\) 本质一致的原因。⏱ 19:27

所有数量矩阵组成的集合 \(\{kI \mid k \in K\}\) 也构成 \(M_n(K)\) 的一个一维子空间（同构于 \(K\) 本身）。

5上三角矩阵 ⏱ 20:01

定义 · 上三角矩阵 \(n\) 级方阵 \(A = (a_{ij})\) 称为上三角矩阵，如果主对角线下方所有元素均为 0，即
\[ a_{ij} = 0 \quad \text{对所有 } i > j. \]
形象地说，主对角线以下全是 0，主对角线及上方可以有非零元。
上三角矩阵的子空间性质 所有 \(n\) 级上三角矩阵构成 \(M_n(K)\) 的一个子空间。⏱ 20:46
  • 加法封闭：两个上三角矩阵相加，主对角线下方的 0 仍为 0；
  • 数乘封闭：数量乘以上三角矩阵，主对角线下方的 0 仍为 0；
  • 非空：零矩阵是上三角矩阵。

上三角矩阵对乘法也封闭（两个上三角矩阵相乘仍是上三角矩阵），但这个证明需要仔细计算，留作练习。⏱ 20:56

验证：上三角矩阵相乘仍是上三角矩阵

设 \(A, B\) 均为上三角矩阵，即 \(a_{ij} = 0\;(i > j)\)，\(b_{ij} = 0\;(i > j)\)。

考虑乘积 \(C = AB\) 的第 \((i,j)\) 元（\(i > j\) 时）：

\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}. \]

当 \(i > j\) 时，对每个 \(k\)：

  • 若 \(k < i\)，则 \(a_{ik} = 0\)（因为 \(A\) 上三角）；
  • 若 \(k \geq i > j\)，则 \(b_{kj} = 0\)（因为 \(B\) 上三角）。

因此每一项 \(a_{ik}b_{kj} = 0\)，故 \(c_{ij} = 0\)，即 \(AB\) 也是上三角矩阵。上三角矩阵对乘法封闭。⏱ 00:00（P57回顾）

★重点回顾

1
基本矩阵 \(E_{ij}\)：仅第 \((i,j)\) 元为 1，其余为 0。\(\{E_{ij}\}\) 共 \(sn\) 个，构成 \(M_{s\times n}(K)\) 的基。
2
矩阵空间的维数：\(\dim M_{s\times n}(K) = sn\)；\(\dim M_n(K) = n^2\)。
3
对角矩阵 \(\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n)\)：左乘缩放行，右乘缩放列；对角矩阵对加法和数乘封闭，构成子空间（维数 \(n\)）。
4
数量矩阵 \(kI\)：所有对角元相同，与任何同阶方阵可交换；是所有对角矩阵中最特殊的一类。
5
上三角矩阵：主对角线下方全为 0；对加法、数乘、乘法均封闭，构成子空间；两个上三角矩阵相乘仍是上三角矩阵。

⚠易错提醒

常见错误
  1. 混淆基本矩阵 \(E_{ij}\) 与数量矩阵：\(E_{ij}\) 只有一个元素为 1，而数量矩阵 \(kI\) 在所有对角元都是 \(k\)，两者完全不同。
  2. 对角矩阵左乘/右乘的规律记混：左乘对角矩阵 \(\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_s)\) 时，是逐行缩放（第 \(i\) 行乘 \(d_i\)）；右乘时是逐列缩放（第 \(j\) 列乘 \(d_j\)）。
  3. 上三角矩阵≠对角矩阵：上三角矩阵主对角线上方可以有非零元，对角矩阵主对角线以外全部为 0，对角矩阵是上三角矩阵的特殊情况。
  4. 数量矩阵与单位矩阵混淆：单位矩阵 \(I\) 是数量矩阵 \(1\cdot I\) 的特殊情形；数量矩阵 \(kI\)（\(k \neq 1\)）不是单位矩阵。

✎自我检测

  1. 写出 \(3 \times 2\) 矩阵空间 \(M_{3\times 2}(K)\) 的全部 6 个基本矩阵 \(E_{ij}\)（\(1\leq i\leq 3,\; 1\leq j\leq 2\)），并验证 \(\dim M_{3\times 2}(K) = 6\)。
  2. 设 \(A = \begin{pmatrix} 1&2&3\\4&5&6 \end{pmatrix}\)，计算 \(D_1 A\) 和 \(A D_2\)，其中 \(D_1 = \mathrm{diag}(2,3)\)，\(D_2 = \mathrm{diag}(1,4,5)\)，验证"左乘缩放行、右乘缩放列"的规律。
  3. 证明：所有 \(n\) 级对角矩阵构成的集合对矩阵乘法也封闭（即两个对角矩阵相乘仍是同阶对角矩阵）。
  4. 设 \(A\) 为上三角矩阵，证明 \(A^T\) 为下三角矩阵；并说明上三角矩阵与下三角矩阵的交集恰好是对角矩阵。
  5. （思考）数量矩阵 \(kI\) 与任意 \(n\) 级方阵 \(A\) 可交换这一性质，能否推出：若 \(B\) 与所有 \(n\) 级方阵都可交换，则 \(B\) 必为数量矩阵？（提示：取 \(B = E_{ij}\) 验证）
  6. （选做）验证：两个 \(n\) 级上三角矩阵相乘，结果仍为上三角矩阵（完成 P58 中未展开的证明）。
下一集预告 第 P59 集 · 五：初等矩阵、初等变换、对称矩阵——介绍三类初等矩阵、初等变换与矩阵乘法的关系、对称矩阵与斜对称矩阵。