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◎学习目标
- 完成定理一（解的情况与判别准则）的严格证明：在“不出现 \(0=d\ (d\neq0)\)”的前提下，方程组必有解；
- 证明有解时 \(r=n\) 对应唯一解、\(r<n\) 对应无穷多解（借助主元所在列与自由未知量的构造）；
- 体会“把简化行阶梯形矩阵的方程、把非主变量移到右边”写出一般解的完整方法（主变量 = 自由未知量的线性组合 + 常数项）；
- 了解非零行数目 \(r\)（阶梯形的秩）由原增广矩阵唯一决定：阶梯形本身不唯一，但“非零行的数目”是矩阵的秩（第三章将正式定义矩阵的秩）；
- 认识齐次线性方程组（常数项全为 0）：它一定有零解，若有非零解则必有无穷多个非零解——为第 7 集做准备。
0承接：第 5 集已猜测的判别准则 ⏱ 00:00
第 5 集从例子出发，已猜测出判别准则（定理一）：设增广矩阵经初等行变换化为阶梯形，非零行数目为 \(r\)、未知量个数为 \(n\)，则
- 若阶梯形出现 \(0=d\ (d\neq0)\)：方程组无解；
- 否则（不出现 \(0=d\)）：方程组有解，且 \(r=n\) 时唯一解、\(r<n\) 时无穷多解。
本集（第 6 集，标题“解的情况以及判别准则（下）”）的任务是严格证明这些猜测，并讨论“非零行数目 \(r\) 由矩阵唯一决定”这一遗留问题，最后引出齐次线性方程组。
1证明“有解”：不出现 \(0=d\) 一定可解 ⏱ 01:00
证明思路（构造一个解）
若阶梯形方程组中不出现 \(0=d\ (d\neq0)\) 的方程，则可构造出至少一个解：
- 把阶梯形方程中所有自由未知量都取 0（主变量留在左边、自由未知量取 0 移到右边）；
- 此时方程组退化为“主变量 = 常数项”的形式，依次回代即可求出全部主变量，得到一个具体解。
为什么“不出现 \(0=d\)”时第 \(r\) 行的主元落在前 \(n\) 列
若第 \(r\) 行（最后一个非零行）的主元落在最后一列（常数项列），该行就变成 \(0=d\ (d\neq0)\)——但前提已排除这种情况，故主元一定落在前 \(n\) 列（未知量列）之内，对应一个真正“含有未知量”的方程，可以参与回代求解。
2\(r=n\)：唯一解 ⏱ 04:30
情形 2.1 · \(r = n\)（唯一解）
设简化行阶梯形矩阵有 \(r=n\) 个主元。由于第 \(n+1\) 列（常数项列）不能有主元（否则就是 \(0=d\)），\(n\) 个主元只能分布在前 \(n\) 列；又主元列标随行号增大而增大（第 1 行主元在第 1 列、第 2 行主元在第 2 列、……、第 \(n\) 行主元在第 \(n\) 列），于是简化行阶梯形矩阵呈“对角”形状：
\[ \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 & \mid & c_1\\
0 & 1 & \cdots & 0 & \mid & c_2\\
\vdots & & \ddots & & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 1 & \mid & c_n
\end{pmatrix} \]
对应方程组为 \(x_1=c_1,\ x_2=c_2,\ \dots,\ x_n=c_n\)——即唯一解。
关于解的写法（行 / 列）
本阶段为省篇幅，解可写成行的形式（一个有序数组 \((c_1,c_2,\dots,c_n)\)）；到了第三章以后，习惯把解写成列向量（列向量形式）。目前“行”与“列”皆可，不影响计算。
3\(r<n\)：无穷多解与一般解 ⏱ 07:00
情形 2.2 · \(r < n\)（无穷多解）
设简化行阶梯形矩阵有 \(r\) 个主元（主元列记为第 \(j_1,j_2,\dots,j_r\) 列，\(1\le j_1<j_2<\cdots<j_r\le n\)），其余 \(n-r\) 个未知量（第 \(r_1,r_2,\dots,r_{n-r}\) 列，即主变量以外的列）为自由未知量。
- 把自由未知量 \(X_{r_1},\dots,X_{r_{n-r}}\) 取任意一组数；
- 把它们代入各方程，回代确定 \(r\) 个主变量 \(X_{j_1},\dots,X_{j_r}\)；
- 自由未知量可取无穷多组（在数域内），故对应无穷多个解。
例 · 第 4 集例子的回顾
第 4 集中 3 元方程组（常数项 5 的版本）化简化行阶梯形后有 \(r=2\) 个主元、\(n=3\) 个未知量，故 \(r<n\)，有无穷多解：主变量 \(x_1,x_3\)、自由未知量 \(x_2\)，一般解为 \(x_3=-1\)、\(x_1=x_2+2\)（\(x_2\) 自由）。
4非零行数目 \(r\) 的唯一性（矩阵的秩）⏱ 11:00
有人担心：阶梯形矩阵不唯一（两行可互换、一行可乘倍数），不同人选出的阶梯形“非零行数目”会不会不同？
直觉 + 预告（矩阵的秩）
- 直觉：若张三化出 3 个非零行（\(r=3<n=4\)）而李四化出 4 个（\(r=4=n\)），则张三得“无穷多解”、李四得“唯一解”——同一方程组不可能既唯一解又无穷多解，矛盾。故 \(r\) 不可能因人选不同而不同。
- 严格证明（预告）：第三章会专门讲矩阵的秩，并证明：“增广矩阵经过初等行变换化成的阶梯形，其非零行的数目由原矩阵唯一决定（等于矩阵的秩）”，与化法无关。本集暂作“通性说法”，严格证明留到第三章。
5齐次线性方程组（承上启下）⏱ 13:00
用定理一处理一类特殊的线性方程组——齐次线性方程组（常数项全为 0）：\(a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n=0\ (i=1,\dots,s)\)。
齐次方程组的解的情况
- 齐次方程组一定有解：零解（\(x_1=x_2=\cdots=x_n=0\)）总是一个解；
- 作为线性方程组，它仍只有“唯一解”或“无穷多解”两种（不可能无解）；
- “唯一解”只能是零解（既然有非零解就必无穷多解）；因此有非零解 ⇔ 无穷多解，由定理一即对应非零行数 \(r<n\)（系数矩阵化为阶梯形后非零行数小于 \(n\)）。
★重点回顾
1
定理一（解的情况与判别准则）：设增广矩阵化阶梯形后非零行数为 \(r\)、未知量数为 \(n\)。① 出现 \(0=d\ (d\neq0)\) → 无解；② 否则有解，且 \(r=n\) → 唯一解、\(r<n\) → 无穷多解。
2
“有解”的证明：不出现 \(0=d\) 时，把自由未知量取 0 可回代得到一个解；故“无解 ⇔ 出现 \(0=d\)”。
3
\(r=n\) 时简化行阶梯形呈“单位矩阵 | 常数”形 → 唯一解（\(x_i=c_i\)）；\(r<n\) 时存在自由未知量，可取无穷多组 → 无穷多解。
4
一般解：主变量（\(X_{j_1},\dots,X_{j_r}\)）= 自由未知量（\(X_{r_1},\dots,X_{r_{n-r}}\)，可任取）的线性组合 + 常数项。
5
非零行数目 \(r\)（矩阵的秩）唯一由原矩阵决定（与化法无关），第三章将正式定义“矩阵的秩”并证明。
6
齐次线性方程组（常数项全 0）：必有零解；有非零解 ⇔ 无穷多非零解 ⇔ 系数矩阵的秩 \(r<n\)（“方程个数 < 未知量个数”时必成立，见第 7 集）。
⚠易错点提醒
常见错误
- 把“有解”直接当作显然：需证明“不出现 \(0=d\) 时一定能回代出一个解”（自由未知量取 0 的技巧）。
- 认为阶梯形矩阵、乃至非零行数目 \(r\)，会随人选不同而不同：阶梯形虽不唯一，但非零行数目 \(r\)（即秩）由矩阵唯一决定。
- 齐次方程组误判为“可能无解”：齐次方程组恒有零解，故不可能无解；“唯一解”时就是零解本身。
- 把“有非零解”与“无穷多解”割裂：齐次方程组只要有非零解就必有无穷多解（非零解的任意倍数仍是非零解）。
- 解的写法（行 / 列）混用：本阶段行、列皆可；进入第三章后习惯写成列向量。
- 自由未知量编号错误：自由未知量是“主变量以外的列”，编号 \(r_1<\cdots<r_{n-r}\)；主变量编号 \(j_1<\cdots<j_r\) 是主元所在列。
✎自测题
- 设一个 \(n\) 元线性方程组化简化行阶梯形后非零行数为 \(r\)。说明：当 \(r=n\) 时为什么是“唯一解”（写出方程组形式）。
- 当 \(r<n\) 时，指出哪些是自由未知量、哪些是主变量，并写出一般解的结构（主变量 = 自由未知量的线性组合 + 常数项）。
- 说明：为什么“不出现 \(0=d\)”就一定有解（用自由未知量取 0 回代的构造）。
- 证明（直觉）：同一方程组的非零行数目 \(r\) 不可能“张三算 3、李四算 4”（否则唯一解与无穷多解矛盾）；并说明它等于矩阵的秩。
- 对一个齐次线性方程组：证明它一定有零解；并说明“有非零解”的充要条件（系数矩阵的秩 \(< n\)）。
- 若一个齐次方程组方程个数 \(s\) 小于未知量个数 \(n\)（\(s<n\)），说明它必有非零解（进而无穷多解）。
下一集预告
第 7 集：五：\(n\) 元齐次方程组解的结论、数域介绍、引入行列式——系统给出齐次方程组“有非零解”的充要条件（系数矩阵的秩 \(< n\)；方程个数少于未知量个数时必成立），引入数域（域）概念，并从二元一次方程组解出“行列式”（\(2\) 阶行列式）的定义，引出 \(N\) 阶行列式。