高等代数 · 课程学习笔记

第 P66 集 · 多项式一：一元多项式定义、是线性空间

Polynomials I: Definition of Univariate Polynomials and Linear Space Structure
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P66 / 151 集 核心概念：一元多项式 · 不定元 · 次数 · 多项式环 · 线性空间
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◎学习目标

  1. 理解解方程与多项式因式分解之间的深刻联系，认识代数学的中心问题；
  2. 掌握一元多项式的严格定义：表达式 \(\sum_{i=0}^{n} a_i x^i\)，系数 \(a_i \in K\)，以及"表法唯一"的等价关系条件；
  3. 理解不定元\(x\)的含义，知道它为什么叫"不定元"；
  4. 掌握多项式的次数\(\deg f(x)\)、首项、零多项式及其次数的特殊规定 \(-\infty\)；
  5. 掌握多项式加法与乘法的严格定义（系数相加、卷积运算）；
  6. 证明并理解：多项式集合 \(K[x]\) 对加法和数量乘法构成一个线性空间；
  7. 了解本章在高等代数整体结构中的地位——为第六章"线性空间到线性空间的保持线性结构的映射"做铺垫。

1从解方程引出多项式 ⏱ 00:00

丘老师从初中就学过的解方程说起。以三次方程：

\[ x^3 + x - 2 = 0 \]

为例：左端是一个关于 \(x\) 的多项式。解方程的关键就是把左端多项式进行因式分解，若能分解成一次因式与二次因式的乘积（或三个一次因式），则问题转化为解若干个低次方程。⏱ 00:30

以 \(x^3 + x - 2 = 0\) 为例，通过拆项技巧：

\[ x^3 + x - 2 = x^3 - 1 + x - 1 = (x-1)(x^2+x+1) + (x-1) = (x-1)(x^2+x+2). \]

于是方程化为 \((x-1)(x^2+x+2)=0\)，解得 \(x_1=1\)，再由求根公式得 \(x_{2,3} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2}\)。⏱ 01:05

重要结论 古典代数学的中心问题就是研究解方程，或者说求方程的根。而求根的关键在于多项式的因式分解；要研究因式分解，必须先研究多项式本身组成的集合及其结构。⏱ 03:56

丘老师在课堂上的原话是："古典代数学的中心问题就是研究解方程，或者是求方程的根，因此求方程的根，解方程的关键要研究这个多项式的因子分解……所以我们今天要开始讲这个多项式。"⏱ 03:59

2一元多项式的严格定义 ⏱ 04:56

什么样的表达式才叫一元多项式？丘老师强调：不是任何表达式都行，必须有严格的表达式形式和表法唯一的条件。

定义 · 一元多项式 设 \(K\) 是一个数域（比如有理数域 \(\mathbb{Q}\)、实数域 \(\mathbb{R}\)、复数域 \(\mathbb{C}\)）。形如
\[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \]
的表达式称为数域 \(K\) 上的一元多项式，其中：
  • \(n\) 是自然数（即 \(n=0\) 或正整数）；
  • \(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 \in K\) 称为系数；
  • \(x\) 是一个符号，称为不定元。
两个这种形式的表达式相等，当且仅当它们含有完全相同的项（即对应系数完全相同），除去系数为 0 的项以外。
为什么要要求"表法唯一"？

丘老师在课堂上说："表法唯一对数学研究特别好，它表法唯一我们很容易变内，它很有用，表法不唯一就麻烦得多。"⏱ 07:56

若表法不唯一，比如 \(3x\) 和 \(3x\) 可以看作不同表达式，那么同样一个多项式可以有多种写法，这将使后续所有关于系数、次数、因式分解的讨论变得极其混乱。

"除去系数为 0 的项以外"这一限定是必要的：系数为 0 的项可以任意添进或删掉，不影响多项式本身。例如：

\[ 2x^2 + 3x + 1 = 2x^2 + 3x + 1 + 0 \cdot x^3 = 2x^2 + 3x + 1 + 0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^4 \]

这些都是同一个多项式。

小结：一元多项式的要素 一个一元多项式由三要素完全确定：数域\(K\)、不定元\(x\)、系数序列\((a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0)\)。记号 \(K[x]\) 表示数域 \(K\) 上所有关于 \(x\) 的一元多项式构成的集合。

3次数与零多项式 ⏱ 09:53

对非零多项式 \(f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0\)（\(a_n \neq 0\)）：

零多项式及其次数 若所有系数均为 0（即 \(a_n = a_{n-1} = \cdots = a_0 = 0\)），则称 \(f(x)\) 为零多项式，记作 \(0\)。
规定：⏱ 14:52
\[ \deg 0 = -\infty \]
并规定：对任意自然数 \(n\)，\(-\infty < n\)；且 \(-\infty + n = -\infty\)，\(-\infty + (-\infty) = -\infty\)。
0 次多项式 若只有 \(a_0 \neq 0\)，其余系数全为 0，则 \(f(x) = a_0\) 是0 次多项式，可等同于数域 \(K\) 中的非零元 \(a_0\)。记号上，\(K[x]\) 表示 \(K\) 上所有多项式集合，0 次多项式可自然嵌入 \(K\) 中。

4多项式的加法与乘法 ⏱ 16:18

设 \(f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i\)，\(g(x) = \sum_{j=0}^{m} b_j x^j\)，不妨设 \(n \geq m\)（较低次多项式可在高位补 0 系数）。

多项式加法
\[ f(x) + g(x) = \sum_{i=0}^{n} (a_i + b_i) x^i \]
即：同次项系数相加，这就是大家熟知的"合并同类项"。
多项式乘法 乘法运算的本质是"每一项乘每一项"，即卷积运算：
\[ f(x) \cdot g(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \cdot \sum_{j=0}^{m} b_j x^j = \sum_{s=0}^{n+m} \left( \sum_{i+j=s} a_i b_j \right) x^s \]
定义中蕴含了一个基本法则：\(x^i \cdot x^j = x^{i+j}\)。⏱ 18:42
数量乘法 对 \(k \in K\)，定义数量乘法：
\[ k \cdot f(x) = \sum_{i=0}^{n} (k a_i) x^i \]
即常数 \(k\) 乘到每一项的系数上。这也可以从多项式乘法中自然推出：将常数多项式 \(k = k \cdot x^0\) 与 \(f(x)\) 相乘即得。

减法定义为：\(f(x) - g(x) = f(x) + (-1) \cdot g(x)\)，即每一项系数相减。

5多项式集合 \(K[x]\) 是线性空间 ⏱ 22:15

有了加法运算和数量乘法运算后，丘老师逐一验证 \(K[x]\) 满足线性空间的八条公理。

定理 · \(K[x]\) 是 \(K\) 上的线性空间 对任意 \(f(x), g(x), h(x) \in K[x]\) 和 \(k, l \in K\)：
  1. 加法交换律：\(f + g = g + f\)（系数加法交换）；
  2. 加法结合律：\((f+g)+h = f+(g+h)\)（系数加法结合）；
  3. 加法零元：存在零多项式 \(0\)，使得 \(f + 0 = f\)；
  4. 加法负元：对 \(f(x) = \sum a_i x^i\)，取 \(-f(x) = \sum (-a_i) x^i\)，则 \(f + (-f) = 0\)；
  5. 数量乘法单位元：\(1 \cdot f = f\)；
  6. 数量乘法结合律：\((kl) \cdot f = k \cdot (l \cdot f)\)；
  7. 数量乘法对向量加法的分配律：\(k \cdot (f + g) = k \cdot f + k \cdot g\)；
  8. 数量乘法对标量加法的分配律：\((k + l) \cdot f = k \cdot f + l \cdot f\)。
验证过程（以分配律为例）

以 \((k+l) \cdot f(x) = k \cdot f(x) + l \cdot f(x)\) 为例：

\[ (k+l) \cdot f(x) = \sum_{i=0}^{n} (k+l)a_i x^i = \sum_{i=0}^{n} (ka_i + la_i) x^i = \sum_{i=0}^{n} ka_i x^i + \sum_{i=0}^{n} la_i x^i = k \cdot f(x) + l \cdot f(x). \]

最后一步利用了多项式加法的定义（同次项系数相加）。其余六条公理的验证完全类似，均归结为数域 \(K\) 中加法和乘法的相应性质。⏱ 22:15

丘老师原话"罗伊验证"——逐项代入验证，虽然繁琐但条理清晰，这是构造新代数结构时常用的方法。
核心结论 \(K[x]\) 对于加法和数量乘法，成为数域 \(K\) 上的一个线性空间。这是本集最重要的结论之一。⏱ 22:31

丘老师指出，这也是继矩阵空间之后，我们认识的又一个线性空间——这次的"向量"不再是数组，而是多项式本身。⏱ 22:48

背景说明 下一章（第六章）将研究"线性空间到线性空间的保持线性结构的映射"，而定理的核心结论正需要多项式环的结构知识。丘老师强调："跟我们先进空间有什么关系呢？因为这个多项式组成的集合，它有一个很重要的性质……它在研究线性空间到线性空间保持线性结构的映射的时候，它发挥重要作用。所以我们讲下一章……我需要先讲多项式，因为它为我们后面做铺垫。"⏱ 04:24

★重点回顾

1
一元多项式的定义：\(\sum_{i=0}^{n} a_i x^i\)，\(a_i \in K\)，\(n \in \mathbb{N}\)，表法唯一（同表达式当且仅当对应系数完全相同，忽略系数为 0 的项）。
2
不定元 \(x\)：不是具体的数，而是一个形式符号，"不定"的含义留待下一节课详细解释。
3
次数：非零多项式的首项指数，\(\deg f(x) = n\)；零多项式规定 \(\deg 0 = -\infty\)，且 \(-\infty\) 小于一切自然数。
4
加法与乘法：加法是系数逐项相加；乘法是卷积 \(\sum_{i+j=s} a_i b_j\)，本质是 \(x^i \cdot x^j = x^{i+j}\)。
5
\(K[x]\) 是线性空间：对加法和数量乘法满足八条公理，向量是多项式本身。
6
课程定位：多项式理论是为第六章"线性变换的特征理论与若尔当标准形"做铺垫，是古典代数学（解方程）与现代代数（代数结构）的桥梁。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆"多项式"与"多项式函数"：在抽象数域 \(K\) 上，多项式是形式表达式，不等于将 \(x\) 代入数值后得到的函数值（尽管在无限域上二者一一对应）。
  2. 忽略零多项式的次数规定：零多项式没有首项，其次数规定为 \(-\infty\)，不可省略此规定，否则次数公式 \(\deg(fg) = \deg f + \deg g\) 在含零多项式时失效。
  3. 误认为乘法定义含混：乘法定义本质上规定了 \(x^i \cdot x^j = x^{i+j}\)，这是定义的一部分，而非需要证明的性质。
  4. 表法唯一的理解偏差："表法唯一"只要求"除去系数为 0 的项以外"相同，不是要求项数完全相同；补零项或去零项都是允许的。
  5. 数量乘法与多项式乘法混淆：\(k \cdot f(x)\)（数量乘法）是数乘多项式，结果为每个系数乘 \(k\)；\(f(x) \cdot g(x)\)（多项式乘法）是两个多项式相乘，结果是卷积运算。

✎自测与作业

  1. （基础）判断以下表达式是否为多项式，若是，指出其系数、次数和首项：
    \[ (1)\quad 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7 \qquad (2)\quad x^2 + \frac{1}{x} \qquad (3)\quad \sqrt{2}\,x^3 + \pi \]
    答案提示：(1) 是，系数 \((3,0,-2,5,-7)\)，次数 4，首项 \(3x^4\)；(2) 不是（有负指数）；(3) 是（\(\sqrt{2},\pi \in \mathbb{R}\)），次数 3，首项 \(\sqrt{2}\,x^3\)。
  2. （计算）设 \(f(x) = 2x^3 - x + 4\)，\(g(x) = x^2 + 3x - 2\)，计算 \(f(x) + g(x)\) 和 \(f(x) \cdot g(x)\)。
  3. （证明）验证 \(\deg(f+g) \leq \max(\deg f, \deg g)\)，等号在 \(\deg f \neq \deg g\) 时成立。
  4. （思考）为什么 \(K[x]\) 对加法和数量乘法构成线性空间？从八条公理中任选两条，给出完整验证过程。
  5. （进阶）证明：若 \(f(x) \cdot g(x) = 0\)，则 \(f(x) = 0\) 或 \(g(x) = 0\)。（提示：利用次数公式 \(\deg(fg) = \deg f + \deg g\)。）
  6. （预习）阅读教材中"环"的定义，思考：多项式集合 \(K[x]\) 除了线性空间结构外，还具有什么额外的代数结构？
下一集预告 第 P67 集 · 多项式二：无限维线性空间、环——证明 \(K[x]\) 是无限维线性空间，引入"环"的概念，为第三章多项式环理论奠基。