高等代数 · 课程学习笔记

第 P68 集 · 一元多项式环的概念和性质、交换环、子环、同构映射

Polynomial Rings: Commutative Rings, Subrings, and Isomorphisms
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P68 / 151 集 核心概念：交换环 · 单位元 · 零因子 · 子环 · 环同构
提示：数学公式渲染组件（KaTeX）加载失败，公式以源码形式显示，不影响阅读内容。联网后刷新即可正常渲染。

☰本集目录

◎学习目标

  1. 掌握交换环和含幺环的定义，理解其作为环的特例的地位；
  2. 理解单位元的存在性与唯一性，知道 \(K[x]\) 有单位元 \(1\)；
  3. 掌握零因子（左零因子、右零因子）的精确定义，区分平凡零因子（零元）与非平凡零因子；
  4. 掌握子环的定义，并会用充要条件（对减法和乘法封闭）判定子环；
  5. 理解矩阵多项式环\(K[A]\) 作为 \(M_n(K)\) 子环的结构，认识其交换性来源；
  6. 掌握环同构的定义，理解"保持运算的双射"这一核心思想；
  7. 通过 \(K \cong K \cdot I_n\) 的例证，建立数域与数量矩阵环之间的同构关系。

1交换环与含幺环 ⏱ 00:39

在一般环的基础上，丘老师引入两类重要的特殊环。

定义 · 交换环 若环 \(R\) 的乘法还满足交换律，即对一切 \(a, b \in R\)，\(a \cdot b = b \cdot a\)，则称 \(R\) 为交换环。
\(K[x]\) 是交换环——多项式乘法显然满足交换律。
定义 · 含幺环（单位元） 若环 \(R\) 中存在元素 \(E\)（称为单位元），使得对一切 \(a \in R\)：
\[ E \cdot a = a \cdot E = a, \]
则称 \(R\) 为含幺环。
\(K[x]\) 的单位元是常数多项式 \(1\)（即 \(1 \cdot x^0\)）。⏱ 02:15
证明：单位元若存在则唯一

设 \(E_1, E_2\) 都是 \(R\) 的单位元，则：

\[ E_1 = E_1 \cdot E_2 \quad (\text{因为 } E_2 \text{ 是单位元}) \] \[ E_1 \cdot E_2 = E_2 \quad (\text{因为 } E_1 \text{ 是单位元}) \]

故 \(E_1 = E_2\)，单位元唯一。⏱ 02:50

小结：\(K[x]\) 的环结构 \(K[x]\) 是含幺交换环：乘法交换，单位元为 \(1\)。这是多项式环最重要的结构特征之一。

2零因子的概念 ⏱ 04:00

丘老师从矩阵乘法的零因子现象引入此概念：

定义 · 零因子 设 \(R\) 是环，\(a \in R\)，\(a \neq 0\)：
  • 若存在 \(b \in R\)，\(b \neq 0\)，使 \(a \cdot b = 0\)，称 \(a\) 为左零因子；
  • 若存在 \(b \in R\)，\(b \neq 0\)，使 \(b \cdot a = 0\)，称 \(a\) 为右零因子；
  • 左零因子与右零因子统称为零因子。
零元 \(0\) 是平凡的零因子（\(0 \cdot b = 0\) 对所有 \(b\) 成立），非平凡的零因子才是需要特别关注的对象。⏱ 07:55
证明：零元是零因子

对任意环 \(R\) 和任意 \(b \in R\)，由分配律可证 \(0 \cdot b = b \cdot 0 = 0\)（见 P67 集）。因此零元对任何非零元 \(b\) 都满足 \(0 \cdot b = 0\)，是平凡零因子。⏱ 09:30

矩阵环中的非平凡零因子：\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，两个非零矩阵乘积为零矩阵。故 \(M_n(K)\)（\(n \geq 2\)）有非平凡零因子。⏱ 12:08

重要结论 · \(K[x]\) 无零因子 由 P67 集的无零因子性（\(\deg(fg) = \deg f + \deg g\)，\(f \neq 0, g \neq 0 \Rightarrow fg \neq 0\)），多项式环 \(K[x]\) 没有非平凡的零因子。这是 \(K[x]\) 区别于矩阵环的重要特征。⏱ 13:14

3子环的定义与判定 ⏱ 13:38

从偶数环是整数环的子集出发，自然引出子环概念。

定义 · 子环 设 \((R, +, \cdot)\) 是一个环，\(R_1\) 是 \(R\) 的非空子集。如果 \(R_1\) 对 \(R\) 的加法和乘法运算也构成一个环，则称 \(R_1\) 是 \(R\) 的子环。
子环的充要条件判定法

命题：环 \(R\) 的非空子集 \(R_1\) 是子环，当且仅当对任意 \(a, b \in R_1\)：

\[ a - b \in R_1 \quad \text{且} \quad a \cdot b \in R_1. \]

必要性：若 \(R_1\) 是子环，则它对其自身的加法和乘法封闭。由于 \(R_1\) 中元素的负元也在 \(R_1\) 中，故 \(a - b = a + (-b) \in R_1\)；乘法封闭即 \(ab \in R_1\)。

充分性：假设 \(a, b \in R_1 \Rightarrow a-b \in R_1\) 且 \(ab \in R_1\)。

  • 取 \(c \in R_1\)（\(R_1\) 非空），则 \(c - c = 0 \in R_1\)（零元属于 \(R_1\)）；
  • \(\forall b \in R_1\)，\(0 - b = -b \in R_1\)（负元属于 \(R_1\)）；
  • \(\forall a, b \in R_1\)，\(a + b = a - (-b) \in R_1\)（加法封闭）；
  • 乘法封闭由条件直接给出。

因此 \(R_1\) 对加法和乘法均封闭。加法和乘法的结合律、交换律、分配律等由 \(R\) 继承（子集的运算限制）。故 \(R_1\) 是环，即 \(R\) 的子环。⏱ 19:00

关键技巧用"减法封闭"同时推出"零元属于 \(R_1\)"和"负元属于 \(R_1\)"，再用减法推出加法封闭。减法在此起决定性作用。
判定子环的实用条件
\[ R_1 \subseteq R \text{ 是子环} \iff R_1 \neq \emptyset \text{ 且 } \forall a,b \in R_1,\; a-b \in R_1 \text{ 且 } ab \in R_1. \]

4矩阵多项式环 \(K[A]\) ⏱ 23:05

给定数域 \(K\) 上的 \(n\) 阶矩阵 \(A\)，考虑形如：

\[ B_m A^m + B_{m-1} A^{m-1} + \cdots + B_1 A + B_0 I \quad (B_i \in K) \]

的所有矩阵组成的集合，记作 \(K[A]\)，称为矩阵 \(A\) 的多项式环。⏱ 23:30

验证 \(K[A]\) 是 \(M_n(K)\) 的子环

对减法封闭：两个 \(K[A]\) 中元素的差仍具有相同形式（逐项相减系数），仍在 \(K[A]\) 中。

对乘法封闭：利用分配律及 \(A^i \cdot A^j = A^{i+j}\)，两个多项式相乘后仍为 \(A\) 的多项式形式。⏱ 26:14

由子环判定定理，\(K[A]\) 是 \(M_n(K)\) 的子环。

重要性质 \(K[A]\) 是交换环，即使 \(M_n(K)\) 本身不是交换环。原因：\(K[A]\) 中任意两个元素都是同一矩阵 \(A\) 的多项式，而 \(A^i \cdot A^j = A^{i+j} = A^j \cdot A^i\)，故乘法可交换。⏱ 27:49

\(K[A]\) 的单位元是单位矩阵 \(I\)。

数量矩阵环 \(K \cdot I\) 只含数量矩阵 \(\{kI \mid k \in K\}\) 的集合记为 \(K I\)，它是 \(K[A]\) 的子环（显然对减法和乘法封闭）。⏱ 29:28

5环的同构映射 ⏱ 30:18

丘老师通过 \(K\) 与 \(KI\) 之间的明显对应关系，抽象出"环同构"的概念。

定义 · 环同构 设 \(R\) 和 \(R'\) 是两个环。映射 \(\sigma: R \to R'\) 称为环同构（isomorphism），如果：
  1. \(\sigma\) 是双射；
  2. \(\sigma\) 保持加法：\(\sigma(a + b) = \sigma(a) + \sigma(b)\)，\(\forall a,b \in R\)；
  3. \(\sigma\) 保持乘法：\(\sigma(a \cdot b) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)\)，\(\forall a,b \in R\)。
此时称环 \(R\) 与 \(R'\) 同构，记作 \(R \cong R'\)。同构的环在代数结构上"本质上相同"⏱ 35:40。
例：\(K \cong KI\)（数域与数量矩阵环同构）

定义映射 \(\sigma: K \to KI\)，\(\sigma(k) = kI\)（\(k\) 对应到主对角线全为 \(k\) 的数量矩阵）。

双射性：

  • 单射：若 \(k \neq l\)，则 \(kI \neq lI\)（至少一个对角元不同），故 \(\sigma(k) \neq \sigma(l)\)；
  • 满射：对任意 \(kI \in KI\)，存在 \(k \in K\) 使 \(\sigma(k) = kI\)。

保持加法：

\[ \sigma(k + l) = (k+l)I = kI + lI = \sigma(k) + \sigma(l). \]

保持乘法：

\[ \sigma(k \cdot l) = (kl)I = (kI)(lI) = \sigma(k) \cdot \sigma(l). \]

故 \(\sigma\) 是环同构，\(K \cong KI\)。⏱ 33:20

核心结论 数域 \(K\)（作为环）与数域 \(K\) 上所有 \(n\) 阶数量矩阵组成的环 \(KI\) 是同构的。⏱ 35:21
与线性空间同构的类比 线性空间同构是"保持加法和数量乘法的双射"；环同构是"保持加法和乘法的双射"。两者结构完全平行，体现了代数结构理论的统一性。

★重点回顾

1
交换环：乘法满足交换律的环。\(
2
含幺环：存在乘法单位元 \(E\)（\(Ea=aE=a\)）。单位元唯一。
3
零因子：非零元 \(a\)，存在非零元 \(b\) 使 \(ab=0\)（或 \(ba=0\)）。零元是平凡零因子。\(
4
子环判定：\(R_1 \subseteq R\) 是子环 \(\iff R_1 \neq \emptyset\) 且 \(\forall a,b \in R_1\)，\(a-b \in R_1\) 且 \(ab \in R_1\)。减法封闭是关键。
5
矩阵多项式环 \(K[A]\)：是 \(M_n(K)\) 的子环，且是交换环（同一矩阵的幂可交换），单位元为 \(I\)。
6
环同构：保持加法和乘法的双射。\(

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 子环判定只用加法封闭不够：必须同时验证对减法和乘法封闭。仅验证加法封闭可能漏掉零元或负元不属于子集的情况。
  2. 混淆"交换环"与"含幺环"：二者是独立概念。矩阵环 \(M_n(K)\) 含幺但不交换；偶数环 \(2\mathbb{Z}\) 交换但无单位元。
  3. 误认为子环必须与原环有相同单位元：子环可以有自己独立的单位元（或无单位元）。例如 \(2\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的子环，但 \(2\mathbb{Z}\) 没有单位元。
  4. 零因子定义漏掉"非零元"条件：定义要求 \(a \neq 0\) 且 \(b \neq 0\)。零元本身不是"非平凡零因子"。
  5. 同构映射只需单射或满射：同构必须是双射，同时保持两种运算。
  6. 忽略 \(K[A]\) 的交换性来源：\(K[A]\) 是交换环的原因不是矩阵乘法一般可交换，而是因为所有元素都是同一个矩阵 \(A\) 的多项式，而同矩阵的幂彼此可交换。

✎自测与作业

  1. （基础）证明：在含幺环 \(R\) 中，单位元 \(E\) 的负元 \(-E\) 满足 \((-E) \cdot a = a \cdot (-E) = -a\)（对一切 \(a \in R\)）。
  2. （判定）判断下列集合是否为给定环的子环，说明理由：
    (a) 所有对角矩阵集合 \(\subseteq M_n(K)\)；
    (b) 所有行列式为 1 的矩阵集合 \(SL_n(K) \subseteq M_n(K)\)；
    (c) 所有上三角矩阵集合 \(\subseteq M_n(K)\)。
  3. （证明）证明：在交换环 \(R\) 中，若 \(a\) 是可逆元（存在 \(a^{-1}\) 使 \(aa^{-1}=a^{-1}a=E\)），则 \(a\) 不是零因子。
  4. （计算）设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)，写出 \(K[A]\) 中所有元素的一般形式，并验证其中任意两元素乘法可交换。
  5. （概念）解释为什么 \(K[A]\) 是交换环，而 \(M_n(K)\) 不是。二者在结构上有何本质区别？
  6. （进阶）设 \(\sigma: R \to R'\) 是环同构。证明：若 \(R\) 有单位元 \(E\)，则 \(\sigma(E)\) 是 \(R'\) 的单位元。
下一集预告 后续将深入多项式环 \(K[x]\) 的因式分解理论，包括带余除法、最大公因式、不可约多项式、唯一因子分解定理等，这些都以环论为基础。