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◎学习目标
- 理解多项式与多项式函数的本质区别：多项式是一个形式表达式 \(f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i\)，而多项式函数是由它诱发的映射 \(K\to K\)；
- 掌握在无限域 \(K\) 上，不同多项式诱发的多项式函数必然不同，从而建立 \(\,K[x]\cong K^{\text{POL}}\) 的环同构；
- 了解有限域上的反例：不同多项式可以定义相同的多项式函数，此时二者不能等同看待；
- 理解丘老师为何强调这种区分——它为下一节（P78）引入复分析工具（有界整函数必为常数）埋下伏笔。
1多项式与多项式函数的区分 ⏱ 00:02
给定数域 \(K\) 上的一个多项式 \(f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\in K[x]\)，对任意 \(\alpha\in K\)，代入可得：
这样就得到一个映射 \(f:K\to K\)，称为 由 \(f(x)\) 诱导的多项式函数。这里有一个根本性的区分：
- 多项式 \(f(x)\)：是一个形式表达式（代数对象）；
- 多项式函数 \(f\)：是从 \(K\) 到 \(K\) 的映射（分析对象）。
2多项式函数环 \(\mathbf{K^{POL}}\) ⏱ 04:20
记 \(K^{\text{POL}}\) 为所有由 \(K[x]\) 中多项式诱导出的多项式函数的集合。在此集合上规定逐点运算：
问题：这样定义的 \(f+g\) 和 \(f\cdot g\) 是否仍然属于 \(K^{\text{POL}}\)？即，是否存在多项式 \(h(x),p(x)\in K[x]\) 使得它们的诱导函数恰好是 \(f+g\) 和 \(f\cdot g\)？
验证：\(f+g\) 仍为多项式函数
设 \(f(x),g(x)\in K[x]\) 分别诱导函数 \(f,g\)。取多项式 \(h(x)=f(x)+g(x)\in K[x]\)，则对任意 \(\alpha\in K\)：
故 \(f+g\) 恰为 \(h(x)\) 诱导的多项式函数，从而 \(f+g\in K^{\text{POL}}\)。⏱ 08:30
同理验证：\(f\cdot g\) 仍为多项式函数
取多项式 \(p(x)=f(x)\cdot g(x)\in K[x]\)，类似可得对任意 \(\alpha\in K\)：
故 \(f\cdot g\in K^{\text{POL}}\)。⏱ 10:15
加法四条：封闭性、交换律、结合律、零元（零函数）、负元（逐点取相反数）；
乘法三条：交换律、结合律、对加法的分配律；
单位元：常数多项式 \(1\) 诱导的函数（恒为 \(1\) 的映射）。
因此 \(K^{\text{POL}}\) 是一个含幺交换环。⏱ 12:00
3无限域上的单射性（命题 E）⏱ 14:05
核心问题：当 \(f(x)\neq g(x)\) 时，它们的诱导函数是否可能相等？这等价于问映射
是否是单射（不同多项式是否必诱导不同函数）？
证明思路
设 \(\deg f\le n,\ \deg g\le n\)，考虑差多项式 \(h(x)=f(x)-g(x)\)。由题设，\(h(\alpha)=0\) 对一切 \(\alpha\in K\) 成立，即 \(h(x)\) 有无穷多个根。⏱ 15:20
而一个非零的 \(n\) 次多项式在域中至多有 \(n\) 个根，与有无穷多个根矛盾，故 \(h(x)\equiv 0\)，即 \(f(x)=g(x)\)。⏱ 16:30
对 \(\alpha=0\)：\(f(0)=0=g(0)\)；对 \(\alpha=1\)：\(f(1)=1=g(1)\)。于是 \(f\) 与 \(g\) 诱导相同的函数，但 \(x^2\neq x\) 作为多项式。⏱ 17:50
关键教训：无限域的条件不可去掉！
4环同构定理⏱ 19:10
现在考察自然映射 \(\sigma:K[x]\to K^{\text{POL}}\)，\(f(x)\mapsto f\)。
- 满射：对任意 \(f\in K^{\text{POL}}\)，由定义存在 \(f(x)\in K[x]\) 使其诱导，显然成立；
- 单射：由命题 E 保证；
- 保持运算：\(\sigma(f(x)+g(x))=\sigma(f(x))+\sigma(g(x))\) 且 \(\sigma(f(x)\cdot g(x))=\sigma(f(x))\cdot\sigma(g(x))\)，由逐项定义即得。
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 忽略"无限域"前提：在有限域上多项式与多项式函数不同构，不能随便等同，这是丘老师特别强调的。
- 混淆"多项式相等"与"函数相等"：多项式相等当且仅当系数逐项相同；函数相等当且仅当对定义域中每个元素函数值相同——前者严格强于后者（在有限域上）。
- 忘记验证运算封闭性：定义 \(K^{\text{POL}}\) 上的加法和乘法后，必须验证结果仍在 \(K^{\text{POL}}\) 中（找到一个对应多项式）。
- 对命题 E 的证明理解不深：关键是"非零 \(n\) 次多项式至多 \(n\) 个根"这一结论，它与无限域的条件结合，推出有无穷多根的多项式只能是零多项式。
✎自测与作业
- 验证：在 \(K=\mathbb{R}\) 上，多项式 \(f(x)=x^3-x\) 与 \(g(x)=x(x-1)(x+1)\) 诱导同一个多项式函数，并说明这并不违反命题 E。
- 在 \(K=\mathbb{F}_2=\{0,1\}\) 上，列出所有多项式 \(f(x)\in\mathbb{F}_2[x]\)（次数 \(\leq 2\)），计算它们诱导的多项式函数，验证命题 E 在此不成立。
- 证明：对任意 \(f(x),g(x)\in K[x]\)，\(\sigma(f(x)\cdot g(x))=\sigma(f(x))\cdot\sigma(g(x))\)。
- （思考）若 \(K\) 为无限域，\(f(x)\in K[x]\) 诱导的函数恒为零，能否推出 \(f(x)=0\)？请用命题 E 给出证明。
- （思考）设 \(K\) 为无限域，\(f(x)\in K[x]\) 的次数为 \(n\)。已知 \(f\) 在 \(K\) 的 \(n+1\) 个不同元素处取值相同，能否推出 \(f(x)\) 为常数？为什么？