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◎学习目标
- 理解线性映射的定义：\(T:V\to W\) 满足 \(T(u+v)=T(u)+T(v)\) 且 \(T(cu)=c\,T(u)\)；
- 区分线性映射与线性变换：后者是 \(V\to V\) 的线性映射；
- 掌握零变换（\(\mathbf{0}\) 变换）和恒等变换（\(I\) 或 \(1\) 变换）的定义与记法；
- 理解可逆线性映射的含义：既是线性映射又是双射（即同构映射）；
- 掌握线性映射的若干基本性质：保零、保负向量、保线性组合、保持线性相关性方向（只单向）。
1线性映射的定义 ⏱ 00:00
本章开启高等代数研究主线之一：线性空间的结构。丘老师特别强调，学习高等代数要抓住主线——研究 \(F\) 上线性空间的结构，主要有五条途径：
学习主线提示
- 基与维数（有限维与无限维）；
- 子空间的交与和，特别是直和；
- 线性空间的同构；
- 对偶空间；
- 线性映射（本章起）。
期中考试前四条，期末考试五条。
定义 · 线性映射
设 \(V,W\) 是域 \(F\) 上的线性空间，映射 \(T:V\to W\) 称为线性映射，如果满足：
\[ \forall\, u,v\in V:\quad T(u+v)=T(u)+T(v), \]
\[ \forall\, c\in F,\;\forall\, v\in V:\quad T(c\,v)=c\,T(v). \]
形象理解
丘老师比喻："有了线性空间这个舞台，要研究线性映射在这个舞台上演出的各种精彩细节。"⏱ 00:33
2线性变换与典型例子 ⏱ 04:32
当 \(W=V\) 时，从 \(V\) 到自身 \(V\) 的线性映射有专门的名称：
定义 · 线性变换
\(V\) 到 \(V\) 的线性映射称为 \(V\) 上的线性变换。
典型例子：数乘变换
给定 \(k\in F\)，定义映射 \(k\bar{\phantom{v}}:V\to V\)：
\[ k\bar{\phantom{v}}(\alpha)=k\cdot\alpha,\quad \forall\,\alpha\in V. \]
容易验证它保持加法和数乘，因此是 \(V\) 上的线性变换，称为数乘变换。⏱ 05:46
由此产生两个特殊情形：
- 零变换（\(\mathbf{0}\) 变换）：\(k=0\) 时，\(\mathbf{0}(\alpha)=\mathbf{0}_V\)，把每个向量映为零向量；
- 恒等变换（\(I\) 变换或 \(\mathrm{1}\)）：\(k=1\) 时，\(\mathrm{1}(\alpha)=\alpha\)，恒等映射。
记法说明
恒等变换常记为 \(I_V\) 或 \(I\)，有时也记为 \(\mathrm{1}\)（数 1 的数乘变换）。⏱ 07:50
3线性映射的基本性质 ⏱ 08:16
设 \(A:V\to V'\) 是线性映射，则有如下基本性质：
性质 1（保零）
\[ A(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_{V'}. \]
证明：\(\mathbf{0}_V=0\cdot\mathbf{0}_V\)，故 \(A(\mathbf{0}_V)=0\cdot A(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_{V'}\)。
性质 2（保负向量）
\[ A(-\alpha)=-A(\alpha),\quad \forall\,\alpha\in V. \]
证明：\(-\alpha=(-1)\cdot\alpha\)，故 \(A(-\alpha)=(-1)\cdot A(\alpha)=-A(\alpha)\)。
性质 3（保线性组合）
对任意 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\in V\) 和 \(k_1,\dots,k_s\in F\)：
\[ A\!\left(\sum_{i=1}^{s}k_i\alpha_i\right)=\sum_{i=1}^{s}k_i\,A(\alpha_i). \]
由保加法和保数乘反复应用即得。
性质 4（线性相关性：单向传递）
若 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 在 \(V\) 中线性相关，则 \(A(\alpha_1),\dots,A(\alpha_s)\) 在 \(V'\) 中也线性相关。
反向不成立：\(\alpha_i\) 线性无关，\(A(\alpha_i)\) 可能线性相关也可能无关，取决于 \(A\) 的核。
4线性映射由基唯一决定 ⏱ 14:00
当 \(V\) 是有限维（设 \(\dim V=n\)），取一组基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 后：
定理 · 线性映射由基唯一决定
设 \(A,B:V\to V'\) 是线性映射，\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的一组基。若
\[ A(\alpha_i)=B(\alpha_i),\quad i=1,\dots,n, \]
则 \(A=B\)（即对一切 \(\alpha\in V\)，\(A(\alpha)=B(\alpha)\)）。
证明
任取 \(\alpha\in V\)，由基的性质：\(\alpha=a_1\alpha_1+\cdots+a_n\alpha_n\)。由保线性组合：
\[ A(\alpha)=a_1A(\alpha_1)+\cdots+a_nA(\alpha_n). \]
同理 \(B(\alpha)=a_1B(\alpha_1)+\cdots+a_nB(\alpha_n)\)。由条件 \(A(\alpha_i)=B(\alpha_i)\)，逐项相等，故 \(A(\alpha)=B(\alpha)\)，对一切 \(\alpha\) 成立，即 \(A=B\)。
重要推论
要构造一个从 \(V\)（\(n\) 维）到 \(V'\) 的线性映射，只需指定 \(n\) 个基向量的像即可，其余向量的像由线性组合自动确定。⏱ 15:30
5可逆线性映射 ⏱ 19:16
回顾同构映射（一一映射且保持运算）的定义：
定义 · 可逆线性映射
设 \(A:V\to V\) 是线性映射。若 \(A\) 还是双射（一一且满射），则称 \(A\) 为可逆线性映射（或 \(V\) 上的同构变换）。
丘老师特别指出：⏱ 20:50
- 可逆映射的充要条件是双射（上学期已证）；
- 同构映射 \(\Leftrightarrow\) 双射 + 保加法 + 保数乘 \(\Leftrightarrow\) 可逆线性映射；
- 若 \(A\) 可逆，则其逆映射 \(A^{-1}\) 也是线性映射（下一章将证明）。
小结
线性变换的两种极端：零变换（所有向量都映为零）、恒等变换（每个向量保持不变）。它们分别是数乘变换 \(k=0\) 和 \(k=1\) 的特例。⏱ 21:40
★重点回顾
1
线性映射定义：保加法 \(T(u+v)=T(u)+T(v)\)，保数乘 \(T(cv)=c\,T(v)\)。
2
线性变换是 \(V\to V\) 的线性映射；零变换把所有向量映为 \(\mathbf{0}\)，恒等变换 \(I\) 满足 \(I(\alpha)=\alpha\)。
3
保线性组合：\(T(\sum k_i\alpha_i)=\sum k_i\,T(\alpha_i)\)，由此推出保零和保负向量。
4
线性相关性只单向传递：源线性相关 \(\Rightarrow\) 像线性相关；反之不一定成立（取决于核是否为零）。
5
基决定性定理：有限维 \(V\) 上线性映射被其在基上的作用唯一确定；构造线性映射只需指定基的像。
6
可逆线性映射=同构变换=双射 + 线性映射。
⚠常见误区提醒
常见错误
- 混淆线性映射与一般映射：线性映射必须同时满足保加法和保数乘，缺一不可。
- 误认为线性相关性可双向传递：\(\alpha_i\) 线性无关 \(\not\Rightarrow\) \(T(\alpha_i)\) 线性无关。反例：零变换把任何基都映为全零向量组，变得线性相关。
- 忽略线性映射由基决定的前提：基决定性定理要求 \(V\) 是有限维；无限维情形需另行处理。
- 混淆"零变换"与"零映射（到零空间）"：零变换是 \(V\to V\) 的线性变换，把所有向量映为 \(\mathbf{0}_V\)；而一般线性映射的"核"（零空间）是另一概念。
- 恒等变换的记号混乱：\(I\)、\(I_V\)、\(1\bar{\phantom{v}}\) 都是同一个东西，注意区分数 1 与恒等变换 \(I\)。
✎自测题
- 验证：对任意线性映射 \(T:V\to W\)，有 \(T(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_W\)，并由此推出 \(T(-v)=-T(v)\)。
- 设 \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) 定义为 \(T(x,y)=(x+y,\;x-y,\;2x)\)，验证 \(T\) 是线性映射。
- 设 \(A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) 是线性映射，且 \(A(1,0,0)=(1,2)\)，\(A(0,1,0)=(3,-1)\)，\(A(0,0,1)=(0,4)\)。求 \(A(2,-1,3)\)。
- 举例说明：\(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关，但 \(T(\alpha_1),T(\alpha_2)\) 可能线性相关。
- 证明：若 \(T:V\to W\) 是线性映射，\(T(\alpha_1),\dots,T(\alpha_n)\) 线性无关，则 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 也线性无关。（提示：用性质 4 的逆否命题）
- （思考题）设 \(V\) 是无限维线性空间，\(\{\alpha_i\}_{i\in I}\) 是一组基。证明：任意指定每个 \(\alpha_i\) 的像 \(w_i\in W\)，存在唯一的线性映射 \(T:V\to W\) 满足 \(T(\alpha_i)=w_i\)。
下一集预告
第 P87 集 · 二：同态映射视角、线性映射的加法与数乘运算，引入 \(\operatorname{Hom}(V,W)\) 构成线性空间的概念。