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◎学习目标
- 理解同态映射（homomorphism）的代数含义，以及它与线性映射的关系；
- 掌握线性映射的加法定义：\((S+T)(v)=S(v)+T(v)\)，并验证其仍是线性映射；
- 掌握线性映射的数乘定义：\((cT)(v)=c\,T(v)\)，并验证其仍是线性映射；
- 理解并掌握 \(\operatorname{Hom}(V,W)\) 构成 \(F\) 上线性空间的结论；
- 体会"抽象代数系统"的思想：用集合 + 运算来构造新的线性空间。
1同态映射与线性映射的关系 ⏱ 00:00
丘老师从代数结构的角度重新审视线性映射：
定义 · 同态映射（homomorphism）
设 \(V,W\) 是域 \(F\) 上的线性空间。映射 \(f:V\to W\) 若同时满足：
\[ f(u+v)=f(u)+f(v),\qquad f(cv)=c\,f(v),\quad \forall\,u,v\in V,\;c\in F, \]
则称 \(f\) 为从 \(V\) 到 \(W\) 的同态映射。
线性映射 = 同态映射
线性映射的同态性质：保持两个运算（加法与数乘）的映射就是同态映射。
丘老师在课堂上说："从代数的角度来看，线性映射其实就是同态映射。"⏱ 07:40
"Hom"取自英文 "homomorphism"（同态）的前三个字母。我们教材使用"线性映射"这一更具体的名称，而"同态映射"则更为抽象。
记号 \(\operatorname{Hom}(V,W)\) 表示所有从 \(V\) 到 \(W\) 的同态映射（线性映射）组成的集合。⏱ 09:07
2线性映射的加法运算 ⏱ 11:00
设 \(A,B\in\operatorname{Hom}(V,W)\)，定义它们的和为：
定义 · 线性映射的加法
对任意 \(\alpha\in V\)，定义
\[ (A+B)(\alpha):=A(\alpha)+B(\alpha). \]
这里右端 "+" 是 \(W\) 中的向量加法。
验证 \(A+B\) 仍是线性映射
保加法：
\[ (A+B)(u+v)=A(u+v)+B(u+v)=[A(u)+A(v)]+[B(u)+B(v)] \]
\[ =[A(u)+B(u)]+[A(v)+B(v)]=(A+B)(u)+(A+B)(v). \]
保数乘：
\[ (A+B)(cu)=A(cu)+B(cu)=c\,A(u)+c\,B(u)=c\,[A(u)+B(u)]=c\,(A+B)(u). \]
故 \(A+B\in\operatorname{Hom}(V,W)\)，加法运算封闭。⏱ 14:30
3线性映射的数乘运算 ⏱ 22:00
定义 · 线性映射的数乘
设 \(c\in F\)，\(A\in\operatorname{Hom}(V,W)\)，定义 \(cA\) 为：
\[ (cA)(\alpha):=c\cdot A(\alpha),\quad \forall\,\alpha\in V. \]
右端是 \(W\) 中的数乘。
验证 \(cA\) 仍是线性映射
保加法：
\[ (cA)(u+v)=c\cdot A(u+v)=c\,[A(u)+A(v)]=c\,A(u)+c\,A(v)=(cA)(u)+(cA)(v). \]
保数乘：
\[ (cA)(du)=c\cdot A(du)=c\cdot[d\,A(u)]=(cd)\,A(u)=d\,(c\,A(u))=d\,(cA)(u). \]
故 \(cA\in\operatorname{Hom}(V,W)\)，数乘运算封闭。⏱ 25:00
4\(\operatorname{Hom}(V,W)\) 构成线性空间 ⏱ 29:00
定理 · Hom 空间
设 \(V,W\) 是域 \(F\) 上的线性空间，则 \(\operatorname{Hom}(V,W)\) 关于定义的加法和数乘构成 \(F\) 上的线性空间。
验证线性空间公理
由于加法和数乘都是逐点定义的，线性空间的八条公理（加法交换律、结合律、零元、负元；数乘分配律、结合律、单位元）直接从 \(W\) 的线性空间公理逐点继承而来。例如：
- 零元：零映射 \(\mathbf{0}:V\to W\)，定义为 \(\mathbf{0}(\alpha)=\mathbf{0}_W\)，对一切 \(\alpha\in V\)。显然 \(\mathbf{0}\in\operatorname{Hom}(V,W)\)，且 \((A+\mathbf{0})(\alpha)=A(\alpha)+\mathbf{0}_W=A(\alpha)\)。
- 负元：\((-A)(\alpha):=-A(\alpha)\)，即每个像向量取负向量。
- 其余公理类似逐点验证即可。
当 \(W=V\) 时，\(\operatorname{Hom}(V,V)\) 是 \(V\) 上所有线性变换组成的线性空间，常记作 \(\operatorname{End}(V)\) 或 \(L(V,V)\)。⏱ 35:00
丘老师的话
"这又是一个例子——抽象的集合配上运算变成线性空间。大学生学抽象概念就看例子，\(F^n\)、\(F[x]\)、\(M_n(F)\)，现在又多了一个 \(\operatorname{Hom}(V,W)\)。"⏱ 41:00
★重点回顾
1
线性映射 = 同态映射：同时保持加法和数乘的映射，英文记号用 \(\operatorname{Hom}\)。
2
加法：\((A+B)(\alpha)=A(\alpha)+B(\alpha)\)，逐点相加；数乘：\((cA)(\alpha)=c\,A(\alpha)\)，逐点标量乘。
3
\(\operatorname{Hom}(V,W)\) 是线性空间，其零元是零映射，负元是逐点取负的映射。
4
这些公理的验证全部逐点从 \(W\) 的线性空间公理继承，无需逐条重新证明。
⚠常见误区提醒
常见错误
- 误认为 \(\operatorname{Hom}(V,W)\) 只是集合而非线性空间：必须同时定义加法和数乘并验证封闭性，才能构成线性空间。
- 混淆"零映射"与"恒等映射"：零映射把所有向量映为零向量；恒等映射把每个向量映为自身。两者是截然不同的线性变换。
- 数乘运算的方向错误：\((cA)(\alpha)=c\,A(\alpha)\)，而非 \(A(c\alpha)\)（后者也是合法的，但含义不同）。
- 忽略 Hom 空间的前提条件：\(V,W\) 都必须是同一域 \(F\) 上的线性空间，否则无法定义加法和数乘。
✎自测题
- 设 \(A,B\in\operatorname{Hom}(V,W)\)，验证 \((A+B)(\alpha)=A(\alpha)+B(\alpha)\) 保持线性性（即验证 \(A+B\) 满足线性映射的两个条件）。
- 设 \(c\in F\)，\(A\in\operatorname{Hom}(V,W)\)，验证 \(cA\) 仍是线性映射。
- 设 \(V=\mathbb{R}^2\)，\(W=\mathbb{R}^3\)，定义 \(A(x,y)=(x+y,\;x-y,\;0)\)，\(B(x,y)=(2x,\;3y,\;x+y)\)。
计算 \((A+B)(1,2)\) 和 \((3A)(2,-1)\)。 - 设 \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) 是线性变换，\(T(1,0)=(2,1)\)，\(T(0,1)=(1,3)\)。求 \(T(3,5)\)。
- （思考）证明：若 \(V\) 是 \(n\) 维，\(W\) 是 \(m\) 维，则 \(\operatorname{Hom}(V,W)\) 是 \(nm\) 维线性空间。（提示：取基后，线性映射与 \(m\times n\) 矩阵一一对应。）
下一集预告
第 P88 集 · 三：线性映射的复合（乘法）运算、幂等变换与投影。