高等代数 · 课程学习笔记

第 P89 集 · 四：幂等变换、线性映射的核、象

Idempotent Transformations, Kernel and Image of Linear Mappings
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P89 / 151 集 核心概念：幂等变换 · 核（Kernel）· 象（Image）· 零度-秩定理
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◎学习目标

  1. 理解幂等变换的概念：\(V\) 上线性变换 \(A\) 满足 \(A^2 = A\)，并从投影变换 \(P_U\) 的例子引出这一概念；
  2. 掌握核（Kernel）的定义：\(\operatorname{Ker}(A) = \{v \in V : A(v) = 0\}\)，并证明它是 \(V\) 的子空间；
  3. 掌握象（Image）的定义：\(\operatorname{Im}(A) = \{A(v) : v \in V\}\)，并理解它是 \(W\) 的子空间；
  4. 理解零度-秩定理（Dimension Theorem）：\(\dim V = \dim\operatorname{Ker}(A) + \dim\operatorname{Im}(A)\)；
  5. 会用核刻画单射：线性映射 \(A\) 是单射当且仅当 \(\operatorname{Ker}(A) = \{0\}\)；
  6. 掌握有限维情形下单射 \(\Leftrightarrow\) 满射的重要推论。

1幂等变换的定义与投影例 ⏱ 00:02

上一节研究了平行 \(W\)、在 \(U\) 上的投影变换 \(P_U\)（设 \(V = U \oplus W\)）。我们已验证 \(P_U\) 满足以下三条性质：

关键发现：把以上三点合起来，可以得到：

命题 · 投影变换幂等 对任意 \(\alpha \in V\)，设 \(\alpha = \alpha_1 + \alpha_2\)（\(\alpha_1 \in U,\;\alpha_2 \in W\)），则
\[ P_U^2(\alpha) = P_U(\alpha_1) = \alpha_1 = P_U(\alpha), \]
即 \(\boldsymbol{P_U^2 = P_U}\)。

由此水到渠成地引出一般概念：

定义 · 幂等变换（Idempotent Transformation） 设 \(A\) 是域 \(F\) 上线性空间 \(V\) 的线性变换。如果
\[ A^2 = A, \]
则称 \(A\) 为 幂等变换。此时对任意正整数 \(k\)，均有 \(A^k = A\)（归纳即证）。
重要例子 投影变换 \(P_U\) 是最基本也是最重要的幂等变换实例。幂等变换在整个线性变换理论中起到非常重要的作用，故在学线性变换之初就应通过投影例子引出质变概念。⏱ 02:41

2核（Kernel）的定义与性质 ⏱ 04:48

定义 · 核 设 \(A: V \to W\) 是 \(F\) 上线性空间的线性映射。\(A\) 的核（Kernel）定义为
\[ \operatorname{Ker}(A) = \{\alpha \in V : A(\alpha) = 0_W\}, \]
其中 \(0_W\) 为 \(W\) 的零向量。记号 "Ker" 取英文 "Kernel" 的前三个字母。
定理 · 核是子空间 \(\operatorname{Ker}(A)\) 是 \(V\) 的子空间。证明分三步：⏱ 06:55
非空

线性映射把零向量映为零向量：\(A(0_V) = 0_W\)，故 \(0_V \in \operatorname{Ker}(A)\)，即核非空。

对加法封闭

设 \(\alpha, \beta \in \operatorname{Ker}(A)\)，即 \(A(\alpha)=0_W,\;A(\beta)=0_W\)。由线性性：

\[ A(\alpha+\beta) = A(\alpha) + A(\beta) = 0_W + 0_W = 0_W, \]

故 \(\alpha+\beta \in \operatorname{Ker}(A)\)。

对数量乘法封闭

设 \(k \in F,\;\alpha \in \operatorname{Ker}(A)\)，则 \(A(k\alpha) = k\,A(\alpha) = k\cdot 0_W = 0_W\)，故 \(k\alpha \in \operatorname{Ker}(A)\)。

定理 · 核刻画单射 设 \(A: V \to W\) 是线性映射，则
\[ A \text{ 是单射} \iff \operatorname{Ker}(A) = \{0_V\}. \]
证明

必要性（\(\Rightarrow\)）：设 \(A\) 单射。若 \(\alpha \in \operatorname{Ker}(A)\)，则 \(A(\alpha)=0_W\)。又 \(A(0_V)=0_W\)，由单射性得 \(\alpha=0_V\)。故 \(\operatorname{Ker}(A)=\{0_V\}\)。⏱ 10:55

充分性（\(\Leftarrow\)）：设 \(\operatorname{Ker}(A)=\{0_V\}\)。若 \(A(\alpha_1)=A(\alpha_2)\)，则 \(A(\alpha_1-\alpha_2)=0_W\)，即 \(\alpha_1-\alpha_2\in\operatorname{Ker}(A)\)，从而 \(\alpha_1-\alpha_2=0_V\)，即 \(\alpha_1=\alpha_2\)。故 \(A\) 单射。⏱ 12:09

丘老师强调该结论比单射定义深刻得多，考试中判断单射应优先考虑核是否为零子空间，而非逐对验证不同元素的不同像。

3象（Image）的定义与性质 ⏱ 14:49

定义 · 象 设 \(A: V \to W\) 是线性映射。\(A\) 的象定义为
\[ \operatorname{Im}(A) = \{A(\alpha) : \alpha \in V\} \subseteq W. \]
定理 · 象是子空间 \(\operatorname{Im}(A)\) 是 \(W\) 的子空间（证明与核类似：\(0_W=A(0_V)\in\operatorname{Im}(A)\)，对加法和数乘封闭）。
象与满射的关系 由映射论知识，\(A\) 是满射当且仅当 \(\operatorname{Im}(A) = W\)（这是满射的定义本身，无需额外证明）。⏱ 15:25

在投影变换的例子中，我们已有：

\[ \operatorname{Ker}(P_U) = W, \qquad \operatorname{Im}(P_U) = U. \]

这两个等式直接由投影定义验证：\(\alpha\in W\Rightarrow P_U(\alpha)=0\)，\(\alpha\in U\Rightarrow P_U(\alpha)=\alpha\)。⏱ 16:45

4零度-秩定理（Dimension Theorem） ⏱ 17:15

本节最关键定理：对有限维情形，核的维数（零度）与象的维数（秩）之和等于定义域的维数。

定理 · 零度-秩定理 设 \(A: V \to W\) 是线性映射，且 \(V\) 为有限维，则
\[ \dim V = \dim\operatorname{Ker}(A) + \dim\operatorname{Im}(A). \]
术语说明 \(\dim\operatorname{Ker}(A)\) 称为 \(A\) 的零度（nullity），\(\dim\operatorname{Im}(A)\) 称为 \(A\) 的秩（rank），记作 \(\operatorname{rank}(A)\)。对矩阵同样有相应定义。
证明思路（构造商空间同构映射 \(\sigma\)）

定义映射 \(\sigma: V/\operatorname{Ker}(A) \to \operatorname{Im}(A)\)，将陪集 \(\alpha + \operatorname{Ker}(A)\) 映为 \(A(\alpha)\)。⏱ 17:31

良定性：若 \(\alpha+\operatorname{Ker}(A)=\beta+\operatorname{Ker}(A)\)，则 \(\alpha-\beta\in\operatorname{Ker}(A)\)，即 \(A(\alpha-\beta)=0\)，从而 \(A(\alpha)=A(\beta)\)，故 \(\sigma\) 不依赖于陪集代表元的选取。

单射：若 \(\sigma(\alpha+\operatorname{Ker}(A))=\sigma(\beta+\operatorname{Ker}(A))\)，则 \(A(\alpha)=A(\beta)\)，推出 \(\alpha-\beta\in\operatorname{Ker}(A)\)，即两陪集相等。

满射：对任意 \(\gamma\in\operatorname{Im}(A)\)，存在 \(\alpha\in V\) 使 \(A(\alpha)=\gamma\)，从而 \(\sigma(\alpha+\operatorname{Ker}(A))=\gamma\)。

线性性：\(\sigma\) 保持加法和数乘，因为 \(A\) 是线性映射。

因此 \(\sigma\) 是同构，于是 \(\dim(V/\operatorname{Ker}(A)) = \dim\operatorname{Im}(A)\)。而商空间维数公式给出 \(\dim(V/\operatorname{Ker}(A)) = \dim V - \dim\operatorname{Ker}(A)\)，代入即得定理。⏱ 18:44

5有限维情形的重要推论 ⏱ 21:18

定理 · 有限维线性变换的单射与满射等价 设 \(A: V \to V\) 是有限维线性空间 \(V\) 上的线性变换，则
\[ A \text{ 是单射} \iff A \text{ 是满射} \iff A \text{ 是双射}. \]
证明

单射 \(\Rightarrow\) 满射：\(A\) 单射 \(\Rightarrow \operatorname{Ker}(A)=\{0\}\)，故 \(\dim\operatorname{Ker}(A)=0\)。由零度-秩定理：

\[ \dim\operatorname{Im}(A) = \dim V - \dim\operatorname{Ker}(A) = \dim V. \]

因 \(\operatorname{Im}(A)\subseteq V\) 且维数相同，故 \(\operatorname{Im}(A)=V\)，即 \(A\) 满射。

满射 \(\Rightarrow\) 单射：\(A\) 满射 \(\Rightarrow \operatorname{Im}(A)=V\)，故 \(\dim\operatorname{Im}(A)=\dim V\)。由定理：

\[ \dim\operatorname{Ker}(A) = \dim V - \dim\operatorname{Im}(A) = 0, \]

故 \(\operatorname{Ker}(A)=\{0\}\)，即 \(A\) 单射。⏱ 22:04

丘老师强调此结论是有限维线性变换独有的性质，与有限集合上单射必满射的道理一脉相承，务必牢记，在今后的五年内都不要忘记。⏱ 22:18

★重点回顾

1
幂等变换：满足 \(A^2=A\) 的线性变换，投影变换是最典型的例子；任何正整数次幂仍等于自身。
2
核 \(\operatorname{Ker}(A)=\{\alpha\in V:A(\alpha)=0\}\) 是 \(V\) 的子空间；象 \(\operatorname{Im}(A)=\{A(\alpha):\alpha\in V\}\) 是 \(W\) 的子空间。
3
单射刻画：\(A\) 单射 \(\iff \operatorname{Ker}(A)=\{0\}\)。这是线性映射单射的深刻刻画，远比逐对验证定义好用。
4
零度-秩定理：\(\dim V = \dim\operatorname{Ker}(A) + \dim\operatorname{Im}(A)\)。证明关键：构造商空间 \(V/\operatorname{Ker}(A)\) 到 \(\operatorname{Im}(A)\) 的同构映射 \(\sigma\)。
5
有限维推论：\(V\) 有限维时，线性变换 \(A:V\to V\) 单射 \(\Leftrightarrow\) 满射 \(\Leftrightarrow\) 双射。这是有限维空间独有的优美性质。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆核与象的位置：\(\operatorname{Ker}(A)\subseteq V\)，\(\operatorname{Im}(A)\subseteq W\)，不要写反。
  2. 零度-秩定理仅对有限维成立：当 \(\dim V=\infty\) 时该公式无意义（维数可能为无穷），定理本身也不再适用。
  3. "单射 \(\Leftrightarrow\) 满射"仅对自映射 \(V\to V\) 成立：一般线性映射 \(A:V\to W\)（\(V\neq W\)）不存在此等价关系。
  4. 误认为核为零子空间即映射为零：\(\operatorname{Ker}(A)=\{0\}\) 只说明 \(A\) 单射，并不说明 \(A\) 是零映射。
  5. 投影 \(P_U\) 的核是 \(W\) 而非 \(U\)：\(P_U\) 把 \(W\) 中向量全映为零，故 \(\operatorname{Ker}(P_U)=W\)；把 \(U\) 中向量保持不变，故 \(\operatorname{Im}(P_U)=U\)。

✎自测与作业

  1. 设 \(A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) 由矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\) 给出。求 \(\operatorname{Ker}(A)\) 的维数与 \(\operatorname{Im}(A)\) 的维数，验证零度-秩定理。
  2. 设 \(A\) 是幂等变换（\(A^2=A\)）。证明：\(V = \operatorname{Ker}(A) \oplus \operatorname{Im}(A)\)。（提示：任取 \(\alpha\in V\)，可写成 \(\alpha=(\alpha-A\alpha)+A\alpha\)。）
  3. 设 \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) 是线性映射，且 \(\dim\operatorname{Ker}(T)=1\)。判断 \(T\) 是否单射、是否满射，并说明理由。
  4. 设 \(A:V\to V\) 是 \(n\) 维空间上的线性变换，且 \(\operatorname{rank}(A)=r\)。证明：若 \(A^2=A\)（幂等），则 \(r=\operatorname{rank}(A)=\dim\operatorname{Im}(A)\)，并由此推出 \(\dim\operatorname{Ker}(A)=n-r\)。
  5. （思考）为什么"有限维线性变换单射必满射"这一结论在无限维情形下不成立？试举反例（如移位算子）。
下一集预告 第 P90 集 · 五：核的商空间同构于象（第一同构定理）——将商空间概念引入线性映射理论，建立 \(V/\operatorname{Ker}(A)\cong\operatorname{Im}(A)\) 的基本定理。