高等代数 · 第 P93 集 · 八：线性变换可逆与矩阵可逆、过渡矩阵

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◎学习目标

理解线性变换的乘法，并证明 Sigma 映射保持乘法运算：\(\Sigma(\mathscr{A}\mathscr{B})=\Sigma(\mathscr{A})\Sigma(\mathscr{B})\)；
掌握线性变换可逆的充要条件：\(\mathscr{A}\) 可逆当且仅当其矩阵 \(A\) 可逆，且 \(\Sigma(\mathscr{A}^{-1})=A^{-1}\)；
推导坐标变换公式：\(\mathscr{A}(\alpha)\) 在基下的坐标 \(=A\cdot X\)，其中 \(X\) 是 \(\alpha\) 的坐标列向量；
理解过渡矩阵的定义与性质：从基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 到基 \(\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n\) 的过渡矩阵 \(S\) 必可逆。

1线性变换乘法与 Sigma 保持乘法 ⏱ 02:06

设 \(\mathscr{A},\mathscr{B}\) 都是 \(V\) 上的线性变换（\(V\) 是 \(n\) 维），取定基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，\(\mathscr{A}\) 的矩阵为 \(A\)，\(\mathscr{B}\) 的矩阵为 \(B\)。考虑复合变换 \(\mathscr{A}\mathscr{B}\)（先作用 \(\mathscr{B}\)，再作用 \(\mathscr{A}\)）。

定理 · Sigma 保持乘法线性变换 \(\mathscr{A}\mathscr{B}\) 在基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 下的矩阵等于矩阵乘积 \(AB\)。⏱ 11:09

\Sigma(\mathscr{A}\mathscr{B}) = \Sigma(\mathscr{A})\,\Sigma(\mathscr{B}) = AB.

证明

按定义，\(\mathscr{B}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)B\)，\(\mathscr{A}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)A\)。⏱ 04:59

对 \((\alpha_1,\dots,\alpha_n)B\) 整体作用 \(\mathscr{A}\)：\(\mathscr{A}\) 作用在每一个向量 \(\sum_j b_{ji}\alpha_j\) 上，由线性性得 \(\sum_j b_{ji}\mathscr{A}(\alpha_j)\)。⏱ 07:42

由于 \(\mathscr{A}(\alpha_j)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)A\) 的第 \(j\) 列，提取因子后得到：

\mathscr{A}\mathscr{B}(\alpha_1,\dots,\alpha_n) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)A\,B.

因此 \(\mathscr{A}\mathscr{B}\) 的矩阵为 \(AB\)。⏱ 11:09

重要推论 Sigma 映射 \(\Sigma:\mathscr{H}om(V,V)\to M_n(F)\) 不仅保持加法和数乘，还保持乘法，是一个环同构（实际上是代数同构）。⏱ 11:14

2可逆线性变换与可逆矩阵 ⏱ 12:20

线性变换 \(\mathscr{A}\) 可逆的定义：存在线性变换 \(\mathscr{B}\) 使得 \(\mathscr{A}\mathscr{B}=\mathscr{B}\mathscr{A}=\mathscr{I}\)（恒等变换）。

定理 · 可逆线性变换的矩阵可逆

若线性变换 \(\mathscr{A}\) 可逆，则其矩阵 \(A\) 是可逆矩阵；
若矩阵 \(A\) 可逆，则对应的线性变换 \(\mathscr{A}\) 也可逆；
\(\mathscr{A}\) 的逆变换 \(\mathscr{A}^{-1}\) 在基下的矩阵等于 \(A^{-1}\)，即 \(\Sigma(\mathscr{A}^{-1})=A^{-1}\)。⏱ 13:41

证明要点

\(\Leftarrow\)：若 \(\mathscr{A}\) 可逆，存在 \(\mathscr{B}\) 使 \(\mathscr{A}\mathscr{B}=\mathscr{I}\)。两边作用 \(\Sigma\)，由 Sigma 保持乘法：⏱ 12:40

A\,B = I_n.

同理 \(B\,A=I_n\)，故 \(A\) 可逆且 \(A^{-1}=B\)。⏱ 13:16

\(\Rightarrow\)：若 \(A\) 可逆，定义线性变换 \(\mathscr{B}\) 使其矩阵为 \(A^{-1}\)。则 \(\Sigma(\mathscr{A}\mathscr{B})=AA^{-1}=I\)，故 \(\mathscr{A}\mathscr{B}=\mathscr{I}\)。⏱ 13:22

类似地可定义幂等变换：\(\mathscr{A}^2=\mathscr{A}\)，其矩阵满足 \(A^2=A\)，称为幂等矩阵。⏱ 13:51

3坐标变换公式 ⏱ 15:28

设 \(\alpha\in V\) 在基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 下的坐标列向量为 \(X=(x_1,\dots,x_n)^T\)，即 \(\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)X\)。考虑 \(\mathscr{A}(\alpha)\) 在该基下的坐标。

定理 · 坐标变换公式向量 \(\alpha\) 的坐标为 \(X\)，则 \(\mathscr{A}(\alpha)\) 在该基下的坐标为 \(AX\)。⏱ 18:05

\alpha = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)X \;\Longrightarrow\; \mathscr{A}(\alpha) \text{ 的坐标} = A\,X.

证明

由 \(\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)X\) 得 ⏱ 16:30

\mathscr{A}(\alpha) = \mathscr{A}\big((\alpha_1,\dots,\alpha_n)X\big) = \mathscr{A}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\,X.

利用 \(\mathscr{A}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)A\)（即式三），⏱ 17:09

\mathscr{A}(\alpha) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)\,A\,X.

故 \(\mathscr{A}(\alpha)\) 在基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 下的坐标列向量恰为 \(AX\)。⏱ 18:05

核心要点线性变换 \(\mathscr{A}\) 作用在向量 \(\alpha\) 上，坐标层面的运算就是矩阵 \(A\) 左乘坐标列向量 \(X\)。⏱ 18:22 这是连接"抽象线性变换"与"具体矩阵运算"的桥梁。

4过渡矩阵的定义与性质 ⏱ 19:40

设 \(V\) 有两个基：旧基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 和新基 \(\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n\)。每个新基向量可由旧基线性表出：

\tilde{\alpha}_j = s_{1j}\alpha_1 + s_{2j}\alpha_2 + \cdots + s_{nj}\alpha_n, \quad j=1,\dots,n.

定义 · 过渡矩阵以系数 \(s_{ij}\) 构成的 \(n\) 阶矩阵 \(S=(s_{ij})\) 称为从旧基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 到新基 \(\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n\) 的过渡矩阵。⏱ 21:55

(\tilde{\alpha}_1,\;\tilde{\alpha}_2,\;\cdots,\;\tilde{\alpha}_n) = (\alpha_1,\;\alpha_2,\;\cdots,\;\alpha_n)\,S. \qquad \text{(式二)}

过渡矩阵 S 必可逆

证明：设 \(SZ=0\)，其中 \(Z=(k_1,\dots,k_n)^T\)。要证 \(Z=0\)。⏱ 20:39

由式二，\(\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n\) 线性无关（它们是基），故由 \((\alpha_1,\dots,\alpha_n)(SZ)=0\) 推出 \(SZ=0\) 中 \(Z=0\)。⏱ 21:25

具体推导：假设 \(k_1\tilde{\alpha}_1+\cdots+k_n\tilde{\alpha}_n=0\)，将式二代入得 \((\alpha_1,\dots,\alpha_n)(SZ)=0\)。因 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 线性无关，故 \(SZ=0\) 的系数向量全为零，即 \(Z=0\)。⏱ 22:16

因此齐次线性方程组 \(SZ=0\) 只有零解，由行列式理论，\(\det S\neq 0\)，即 \(S\) 可逆。⏱ 24:55

结论过渡矩阵 \(S\) 一定是可逆矩阵。⏱ 25:31 这是过渡矩阵最重要的性质。

5同一线性变换在不同基下的矩阵关系 ⏱ 28:46

设线性变换 \(\mathscr{A}\) 在旧基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 下的矩阵为 \(A\)，在新基 \(\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n\) 下的矩阵为 \(B\)，过渡矩阵为 \(S\)（即 \((\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)S\)）。

定理 · 相似矩阵公式

B = S^{-1}AS.

即同一线性变换在不同基下的矩阵是相似矩阵。⏱ 31:41

证明

由定义：⏱ 29:13

\mathscr{A}(\alpha_1,\dots,\alpha_n) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)A, \qquad \mathscr{A}(\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n) = (\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n)B.

利用过渡矩阵式，\(\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n\) 代入左边：⏱ 29:33

\mathscr{A}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)S = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)A\,S.

另一方面，用式一代入：⏱ 30:24

\mathscr{A}(\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)A\,S.

又由 \(\mathscr{A}\) 在新基下的矩阵为 \(B\)：⏱ 30:38

(\alpha_1,\dots,\alpha_n)A\,S = (\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n)\,B = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)\,S\,B.

消去 \((\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)（基向量组线性无关），得 \(AS=SB\)，故 \(B=S^{-1}AS\)。⏱ 31:41

记忆技巧公式 \(B=S^{-1}AS\) 中，左乘逆、右乘正，过渡矩阵 \(S\) 出现在右边（对应于坐标变换的方向）。

★重点回顾

1

Sigma 保持乘法：\(\Sigma(\mathscr{A}\mathscr{B})=\Sigma(\mathscr{A})\Sigma(\mathscr{B})\)，即矩阵乘法对应线性变换的复合。

2

可逆等价：线性变换 \(\mathscr{A}\) 可逆 \(\iff\) 其矩阵 \(A\) 可逆，且 \(\Sigma(\mathscr{A}^{-1})=A^{-1}\)。

3

坐标变换公式：\(\alpha\) 的坐标为 \(X\) 时，\(\mathscr{A}(\alpha)\) 的坐标为 \(AX\)。

4

过渡矩阵 S 可逆：从一组基到另一组基的过渡矩阵必为可逆矩阵，这是基的线性无关性决定的。

5

相似公式：同一线性变换在不同基下的矩阵满足 \(B=S^{-1}AS\)，其中 \(S\) 是从旧基到新基的过渡矩阵。

⚠常见误区

易错提醒

过渡矩阵方向混淆：式二 \((\tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)S\) 中，\(S\) 的第 \(j\) 列是 \(\tilde{\alpha}_j\) 在旧基下的坐标，不是旧基向量在新基下的坐标。
相似公式顺序：\(B=S^{-1}AS\)，不是 \(SAS^{-1}\)（取决于 \(S\) 的定义方向；此处 \(S\) 是从旧基到新基的过渡矩阵）。
坐标变换公式：\(\mathscr{A}(\alpha)\) 的坐标是 \(AX\)，不是 \(XA\)（矩阵乘法不交换）。
线性变换乘法 vs 矩阵乘法：\(\mathscr{A}\mathscr{B}\) 表示先作用 \(\mathscr{B}\) 再作用 \(\mathscr{A}\)，对应矩阵乘法也是先 \(B\) 后 \(A\)（即 \(AB\)）。

✎自测与作业

设 \(V=F^2\)，基 \(\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(0,1)^T\)。线性变换 \(\mathscr{A}(x,y)=(2x+y,\;x+3y)\)，求 \(\mathscr{A}\) 在该基下的矩阵 \(A\)，并验证 \(\mathscr{A}(\alpha)\) 的坐标 \(=A\cdot X\)（\(X\) 为 \(\alpha\) 的坐标）。
设 \(\mathscr{A}\) 在基 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 下的矩阵为 \(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)，验证 \(\mathscr{A}^2\) 的矩阵为 \(A^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&9\end{pmatrix}\)。
设 \(V=F^2\)，旧基 \(\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(0,1)^T\)，新基 \(\tilde{\alpha}_1=(1,1)^T,\tilde{\alpha}_2=(1,-1)^T\)，求过渡矩阵 \(S\) 并验证其可逆。
（证明）证明：若 \(\mathscr{A}\) 可逆，则 \(\Sigma(\mathscr{A}^{-1})=A^{-1}\)。提示：利用 \(\Sigma\) 保持乘法，以及 \(\mathscr{A}\mathscr{A}^{-1}=\mathscr{I}\)。
（选做）设 \(\mathscr{A}\) 在基 \(\alpha\) 下的矩阵为 \(A\)，在基 \(\tilde{\alpha}\) 下的矩阵为 \(B\)，过渡矩阵为 \(S\)。证明：若 \(A\) 是对角矩阵，则 \(B=S^{-1}AS\) 也是相似变换，并说明何时 \(B=A\)（即矩阵在基变换下不变）。

下一集预告第 P94 集 · 九：线性变换与相似矩阵，将深入探讨相似关系的等价类性质、相似不变量（迹、行列式、特征多项式）。