高等代数 · 第 P94 集 · 九：线性变换与相似矩阵

☰本集目录

◎学习目标

理解并掌握相似矩阵的定义：\(B=P^{-1}AP\)，其中 \(P\) 可逆；
理解同一线性变换在不同基下的矩阵相似这一核心结论；
理解相似关系是 \(M_n(F)\) 上的等价关系（自反、对称、传递），引出相似类的概念；
掌握相似不变量：相似矩阵有相同的行列式、相同的秩、相同的迹；
理解迹（trace）的定义：\(\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}\)，及其基本性质。

1相似矩阵的定义 ⏱ 12:43

从前两集我们已经知道：同一线性变换在不同基下的矩阵满足 \(B=S^{-1}AS\)，其中 \(S\) 是过渡矩阵（可逆）。

定义 · 相似矩阵设 \(A,B\in M_n(F)\)。若存在可逆矩阵 \(P\in M_n(F)\) 使得

B = P^{-1}AP

则称 \(A\) 与 \(B\) 相似，记作 \(A\sim B\)。⏱ 13:45

说明书中用 \(S\) 表示过渡矩阵，此处定义统一用 \(P\) 表示任意可逆矩阵，两者本质相同。⏱ 13:20

2同一线性变换在不同基下的矩阵相似 ⏱ 12:13

结合 P93 的结论，直接得到核心定理：

定理 · 相似矩阵的几何意义设 \(\mathscr{A}\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换，在基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 下的矩阵为 \(A\)，在基 \(\beta_1,\dots,\beta_n\) 下的矩阵为 \(B\)，过渡矩阵为 \(S\)（即 \((\beta_1,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)S\)），则

B = S^{-1}AS

即 同一线性变换在不同基下的矩阵相似。⏱ 14:37

证明回顾（关键步骤）

由定义：\(\mathscr{A}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)A\)，\(\mathscr{A}(\beta_1,\dots,\beta_n)=(\beta_1,\dots,\beta_n)B\)。⏱ 12:30

将 \(\beta\) 组用 \(\alpha\) 组表示：\(\mathscr{A}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)S = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)AS\)。⏱ 13:03

另一方面，由一式 \((\alpha_1,\dots,\alpha_n)=(\beta_1,\dots,\beta_n)S^{-1}\)，代入得：

\mathscr{A}(\beta_1,\dots,\beta_n) = (\beta_1,\dots,\beta_n)\,S^{-1}AS

与定义比较，由矩阵唯一性得 \(B=S^{-1}AS\)。⏱ 13:15

3相似关系是等价关系 ⏱ 15:37

验证相似关系满足等价关系的三条性质：

定理 · 相似关系的等价性

自反性：\(A\sim A\)。取 \(P=I\)，则 \(I^{-1}AI=A\)。⏱ 15:21
对称性：若 \(A\sim B\)，则 \(B\sim A\)。由 \(B=P^{-1}AP\) 得 \(A=PBP^{-1}=(P^{-1})^{-1}B(P^{-1})\)，取 \(Q=P^{-1}\) 即证。⏱ 15:28
传递性：若 \(A\sim B\) 且 \(B\sim C\)，则 \(A\sim C\)。由 \(B=P^{-1}AP\)，\(C=Q^{-1}BQ\) 得 \(C=(PQ)^{-1}A(PQ)\)，取 \(R=PQ\) 即证。⏱ 15:34

相似类相似关系作为等价关系，将 \(M_n(F)\) 划分成若干个等价类，每个等价类称为一个相似类：

[A] = \{\,B\in M_n(F) \mid B\sim A\,\}

即所有与 \(A\) 相似的矩阵构成的集合。⏱ 16:05

4相似不变量：行列式与秩 ⏱ 17:00

相似不变量：属于同一相似类的矩阵共同具有的性质。这类性质不依赖于基的选择，因此是线性变换本身固有的属性。

性质一 · 行列式相等若 \(B=P^{-1}AP\)，则 \(\det B=\det A\)。⏱ 17:08

\det B = \det(P^{-1}AP) = \det(P^{-1})\det A\,\det P = (\det P)^{-1}(\det P)\det A = \det A

性质二 · 秩相等若 \(B=P^{-1}AP\)，则 \(\mathrm{rank}(B)=\mathrm{rank}(A)\)。⏱ 18:35

\text{左乘/右乘可逆矩阵不改变矩阵的秩}

这是第三大题中已证明的结论：⏱ 18:37

不变量的含义行列式和秩是从矩阵角度看的不变量，但它们同时也是线性变换本身的属性——因为无论取哪组基，算出来的行列式/秩都相同。⏱ 18:50

5矩阵的迹（Trace） ⏱ 18:51

从 \(n^2\) 个元素中提炼出更精细的不变量——主对角线元素之和。

定义 · 矩阵的迹设 \(A=(a_{ij})\in M_n(F)\)，定义

\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}

称为 \(A\) 的迹（英文 trace）。⏱ 20:30

定理 · 迹的相似不变性对任意 \(A,B\in M_n(F)\) 和可逆 \(P\)，有

\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}(A)

特别地，若 \(A\sim B\)，则 \(\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)\)。⏱ 21:11

证明（利用迹的循环性质）

先证一般性质：\(\mathrm{tr}(XY)=\mathrm{tr}(YX)\) 对任意 \(X\in M_{m\times n},Y\in M_{n\times m}\) 成立。⏱ 22:00

计算：

\mathrm{tr}(XY)=\sum_i (XY)_{ii}=\sum_i\sum_k x_{ik}y_{ki},\qquad \mathrm{tr}(YX)=\sum_k (YX)_{kk}=\sum_k\sum_i y_{ki}x_{ik}

由于 \(F\) 中乘法交换，两式相等。⏱ 22:33

于是 \(\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}((P^{-1}A)P)=\mathrm{tr}(P(P^{-1}A))=\mathrm{tr}(A)\)。⏱ 22:41

迹的基本性质

\(\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)\)
\(\mathrm{tr}(kA)=k\,\mathrm{tr}(A)\)
\(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\)（循环性）
\(\mathrm{tr}(A)\) 是相似不变量

迹的重要性丘老师强调：迹在群表示论中有极其重要的作用。物理学中的量子力学也广泛用到迹的概念。它是矩阵最重要的不变量之一。⏱ 19:44

★重点回顾

1

相似的定义：\(B=P^{-1}AP\)（\(P\) 可逆）。\(\iff\) 同一线性变换在不同基下的矩阵。

2

相似是等价关系：自反、对称、传递，将 \(M_n(F)\) 划分成相似类。

3

相似不变量：行列式、秩、迹——属于同一相似类的矩阵这些值都相同。

4

迹的计算：\(\mathrm{tr}(A)=\sum a_{ii}\)，满足 \(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\)，从而 \(\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}(A)\)。

5

不变量的意义：相似不变量对应线性变换本身的属性，与基的选取无关，是刻画线性变换的核心工具。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆相似与等价：矩阵相似（\(B=P^{-1}AP\)）与矩阵等价（\(B=PAQ\)，\(P,Q\) 可逆）是不同的关系；相似要求"共轭"形式，等价只要求行列满秩变换。
误认为相似可逆矩阵可以互换位置：\(P^{-1}AP\neq PAP^{-1}\) 一般不等；顺序不可颠倒。
迹的循环性用错对象：\(\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BCA)=\mathrm{tr}(CAB)\) 成立，但 \(\mathrm{tr}(ABC)\neq\mathrm{tr}(ACB)\) 一般不成立。
忽略可逆条件：定义相似时 \(P\) 必须可逆；若 \(P\) 不可逆，\(P^{-1}AP\) 无意义。
误用迹的线性：\(\mathrm{tr}(A^2)\neq(\mathrm{tr}(A))^2\) 一般不成立，注意区分。

✎自测与作业

验证 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\) 与 \(B=\begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix}\) 是否相似：分别计算 \(\det A,\det B\) 和 \(\mathrm{tr}(A),\mathrm{tr}(B)\)，判断是否可能是相似矩阵。
设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)，\(P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，计算 \(P^{-1}AP\)，验证 \(\det(P^{-1}AP)=\det A\) 且 \(\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}(A)\)。
证明：对任意 \(A,B\in M_n(F)\)，\(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\)。（提示：直接按定义展开求和。）
（思考题）若 \(A^2=A\)（幂等矩阵），证明 \(\mathrm{tr}(A)=\mathrm{rank}(A)\)。（提示：相似于对角矩阵 \(\mathrm{diag}(1,\dots,1,0,\dots,0)\)。）
（选做）设 \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，直接计算 \(\mathrm{tr}(A)\) 和 \(\det A\)，并说明它们在相似变换下保持不变。
（选做）证明：若 \(A\sim B\)，则 \(A^k\sim B^k\) 对所有正整数 \(k\) 成立。

本章小结本集是线性变换理论的关键枢纽：通过相似概念，把"不同基下的矩阵"和"同一个线性变换"联系起来，行列式、秩、迹等不变量成为识别线性变换本质属性的工具。这些概念将在后续特征值、对角化理论中发挥核心作用。