高等代数 · 第 P95 集 · 十：矩阵的迹、线性变换特征值、特征向量

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◎学习目标

理解矩阵的迹（trace）的定义：$\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}$，即主对角线元素之和；
掌握迹的重要性质：$\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)$，$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$；
理解线性变换的特征值与特征向量的定义：$T\alpha = \lambda_0 \alpha$，其中 $\alpha \neq 0$；
认识特征值特征向量在量子力学中的核心地位（本征态与本征值）。

1矩阵的迹及其性质 ⏱ 00:02

本集首先回顾并深化矩阵的迹（trace）的概念。设 $A=(a_{ij})$ 为 $F$ 上的 $n$ 阶方阵，定义：

定义 · 矩阵的迹矩阵 $A$ 的迹（trace）定义为它主对角线上所有元素之和：

\operatorname{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}.

迹的三个基本性质（证明思路）

性质 1（可加性）：对任意 $n$ 阶方阵 $A,B$，有 $\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)$。这是显然的，因为 $(A+B)$ 的主对角线元素就是 $a_{ii}+b_{ii}$。⏱ 00:13

性质 2（数乘）：对任意数 $k \in F$，$\operatorname{tr}(kA) = k\operatorname{tr}(A)$。⏱ 00:29

性质 3（循环置换）：对任意 $n$ 阶方阵 $A,B$，有 $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$。⏱ 00:42

性质 3 是三个性质中最深刻的一个，证明如下：

\operatorname{tr}(AB) = \sum_{i=1}^{n}(AB)_{ii} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{ki}

交换求和次序（因 $F$ 中乘法可交换）：

= \sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}b_{ki}a_{ik} = \sum_{k=1}^{n}(BA)_{kk} = \operatorname{tr}(BA).

丘老师在课堂上说："A 和 B 乘法不能交换，矩阵乘法不是交换的，可它们迹相等，这个可是有点意思。"⏱ 01:07

重要推论：相似矩阵有相同的迹若 $A$ 与 $B$ 相似，即 $B=P^{-1}AP$，则

\operatorname{tr}(B) = \operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}((P^{-1}A)P) = \operatorname{tr}(P(P^{-1}A)) = \operatorname{tr}(A).

所以相似的矩阵有相等的迹。⏱ 02:03

2线性变换特征值与特征向量的定义 ⏱ 09:44

丘老师从投影变换的物理图像出发，引出特征值与特征向量的一般定义。考虑空间 $V$ 中过定点 $O$ 的平面 $U$ 和不在 $U$ 上的直线 $W$，沿 $W$ 方向到 $U$ 上的投影 $P_U$：

对任意 $\gamma \in U$，$P_U\gamma = 1\cdot\gamma$，数 $1$ 是特征值，$\gamma$ 是相应特征向量；
对任意 $\delta \in W$，$P_U\delta = 0\cdot\delta$，数 $0$ 是特征值，$\delta$ 是相应特征向量。

丘老师说："抓住你的特征，不要全部画出来……我们称它为特征值，而这个 $\gamma$ 是叫做属于 $1$ 的特征向量。"⏱ 10:30

定义 · 线性变换的特征值与特征向量设 $A$ 是域 $F$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换。如果存在 $F$ 中的元素 $\lambda_0$，以及 $V$ 中的非零向量 $\alpha$，使得

A\alpha = \lambda_0 \alpha,

则称 \(\lambda_0$ 为线性变换 $A$ 的特征值（eigenvalue），称 $\alpha$ 为 $A$ 的属于特征值 $\lambda_0$ 的特征向量（eigenvector）。

关键注意特征向量必须是非零向量！零向量平凡地满足 $A0=\lambda_0\cdot 0$，但不构成特征向量。⏱ 11:25

3特征值的几何直观 ⏱ 08:50

特征值与特征向量的本质含义是：线性变换 $A$ 把某个非零向量 $\alpha$ 映射后，方向不改变（或反向），只拉伸（或压缩）了 $\lambda_0$ 倍。

形象比喻投影变换 $P_U$ 是一个线性变换：

在平面 $U$ 上的向量，被映成自身——拉伸因子是 $1$；
在直线 $W$ 上的向量，被映成零向量——拉伸因子是 $0$。

这就是特征值 $\lambda=1$ 和 $\lambda=0$ 的几何含义。⏱ 09:00

丘老师强调：特征值不依赖于基的选择，它是线性变换自身的内在属性。⏱ 07:45

4量子力学中的特征值与特征向量 ⏱ 12:20

丘老师简要介绍了量子力学中特征值与特征向量的核心地位：

量子态用波函数 $\psi$ 描述，所有量子态组成一个复数域上的线性空间；
力学量（如动量、动能）用线性变换（算符）$A$ 表示；
只有在本征态（即特征向量）上测量，才能得到确定的结果（即特征值）；
在其他状态测量，结果是随机的，以一定概率得到各个本征值。

丘老师原话 "特征值特征向量在量子力学里起了非常重要的重量……本征态本质上就是线性变换的一个特征向量，在这个特征向量的测量是测量到唯一的结果，而这个结果就是特征值。"⏱ 12:30

★重点回顾

1

矩阵的迹：$\operatorname{tr}(A)=\sum_{i}a_{ii}$，是主对角线元素之和。

2

迹的性质：$\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)$，$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$（循环置换性），$\operatorname{tr}(kA)=k\operatorname{tr}(A)$。

3

相似矩阵有相同的迹：若 $B=P^{-1}AP$，则 $\operatorname{tr}(B)=\operatorname{tr}(A)$，迹是相似关系下的不变量。

4

线性变换的特征值与特征向量：$A\alpha=\lambda_0\alpha$，$\alpha\neq 0$。特征值 $\lambda_0\in F$，特征向量 $\alpha\in V$ 非零。

5

几何含义：特征向量在线性变换下方向不变，仅被伸缩了 $\lambda_0$ 倍。

6

量子力学应用：本征态=特征向量，本征值=特征值；测量结果确定当且仅当处于本征态。

⚠易错点提醒

常见错误

特征向量可以为零向量：特征向量必须是非零向量！零向量不属于任何特征值。
混淆 $\operatorname{tr}(AB)$ 与 $\operatorname{tr}(BA)$：虽然矩阵乘法不可交换（$AB\neq BA$ 一般），但它们的迹相等，这是一个深刻的性质。
混淆行列式与迹：$\det(AB)=\det(A)\det(B)$ 与 $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$ 是不同的恒等式，不能混用。
特征值 $\lambda_0$ 必须属于基域 $F$：如果 $F=\mathbb{R}$，而特征值是虚数（如 $i$），则在实数域上线性变换没有这个特征值。

✎自测与作业

计算矩阵 $A=\begin{pmatrix} 2&3\\1&4 \end{pmatrix}$ 的迹 $\operatorname{tr}(A)$。
验证 $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$：取 $A=\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix} 5&6\\7&8 \end{pmatrix}$，分别计算 $\operatorname{tr}(AB)$ 和 $\operatorname{tr}(BA)$。
证明：若 $B=P^{-1}AP$，则 $\operatorname{tr}(B)=\operatorname{tr}(A)$（利用 $\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)$）。
判断下列命题是否正确，并说明理由：
1. 若 $A\alpha=\lambda_0\alpha$，则 $\alpha$ 一定是特征向量。
2. 零向量是所有特征值对应的特征向量。
3. 同一个特征向量可以属于不同的特征值。
（思考）设 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，$\operatorname{tr}(A)=6$，$\det(A)=8$。如果 $A$ 的特征值是三个实数，求这三个特征值的可能组合。

下一集预告第 P96 集 · 十一：特征子空间——证明属于不同特征值的特征向量线性无关，引入特征子空间的概念。