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◎学习目标
- 理解并掌握线性变换的特征值等于其任一矩阵表示的特征值这一定理；
- 掌握特征多项式的定义：\(f(\lambda)=\det(\lambda I-A)$，并理解它是与基无关的不变量；
- 会用特征多项式求矩阵的全部特征值和特征向量；
- 了解环上矩阵（元素在多项式环 \(F[\lambda]$ 中）的基本概念。
1线性变换特征值与矩阵特征值的等价性 ⏱ 00:01
设 \(A$ 是 \(n$ 维线性空间 \(V$ 上的线性变换，在基 \(\mathcal{B}$ 下的矩阵为 \(A$（\(n\times n$ 矩阵）。对任意向量 \(\alpha\in V$，设其在基 \(\mathcal{B}$ 下的坐标为列向量 \(Y$。由坐标变换公式：
\[ A\alpha \text{ 的坐标} = A \cdot Y. \]
因此，\(A\alpha = \lambda_0\alpha$ 当且仅当坐标满足：
\[ AY = \lambda_0 Y, \quad Y\neq 0. \]
定理 · 特征值的等价性
设 \(A$ 是 \(n$ 维线性空间 \(V$ 上线性变换在基 \(\mathcal{B}$ 下的矩阵。则：
- \(\lambda_0$ 是线性变换 \(A$ 的特征值当且仅当\(\lambda_0$ 是矩阵 \(A$ 的特征值；
- \(\alpha$ 是 \(A$ 的属于 \(\lambda_0$ 的特征向量当且仅当\(\alpha$ 在基 \(\mathcal{B}$ 下的坐标 \(Y$ 是矩阵 \(A$ 的属于 \(\lambda_0$ 的特征向量。
丘老师说："你要去找线性变换的特征值，只要去找它的矩阵的特征值。你把矩阵 A 的全部特征值找到了，那它们就是线性变换 A 的全部特征值。"⏱ 02:15
重要推论
- 求线性变换的特征值 → 转化为求其矩阵表示的特征值；
- 求线性变换的特征向量 → 先求矩阵的特征向量（坐标），再以这些坐标为系数写出向量。
2特征多项式的定义 ⏱ 02:56
由等价性定理，求矩阵 \(A$ 的特征值，就是求满足 \(\det(\lambda_0 I-A)=0$ 的 \(\lambda_0$。这自然引出特征多项式的定义。
定义 · 特征矩阵与特征多项式
设 \(A=(a_{ij})$ 为 \(F$ 上的 \(n$ 阶矩阵，\(\lambda$ 为不定元。定义特征矩阵为：
\[ \lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{pmatrix}. \]
特征矩阵的行列式称为矩阵 \(A$ 的特征多项式：
\[ f(\lambda) = \det(\lambda I - A). \]
\(f(\lambda)$ 是 \(\lambda$ 的 \(n$ 次首一多项式（最高次项系数为 1）。
推导过程：从 AY=λ₀Y 到 det(λ₀I-A)=0
设 \(\lambda_0$ 是矩阵 \(A$ 的特征值，\(\alpha$ 是相应的特征向量（非零列向量），则 \(A\alpha=\lambda_0\alpha$，即：
\[ (\lambda_0 I - A)\alpha = 0. \]
这是以 \(\lambda_0 I-A$ 为系数矩阵的齐次线性方程组，它有非零解 \(\alpha$ 的充要条件是系数矩阵的行列式为 \(0$：
\[ \det(\lambda_0 I - A) = 0. \]
因此 \(\lambda_0$ 是 \(f(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ 在 \(F$ 中的一个根。⏱ 03:06
3特征多项式与基的选择无关 ⏱ 05:40
虽然特征多项式是通过矩阵定义的，但它实际上是线性变换自身的不变量：
定理 · 特征多项式与基无关
设线性变换 \(A$ 在两组不同基下的矩阵分别为 \(A$ 和 \(B$，则 \(A$ 与 \(B$ 相似，即 \(B=P^{-1}AP$。由相似矩阵的性质：
\[ \det(\lambda I - B) = \det(\lambda I - P^{-1}AP) = \det(P^{-1}(\lambda I - A)P) = \det(\lambda I - A). \]
因此，线性变换的特征多项式与基的选择无关，可以定义为线性变换的不变量。\(\det(\lambda I-A)$ 称为线性变换 A 的特征多项式。⏱ 05:55
由此，迹和行列式也可以直接定义为线性变换的不变量：
- 迹：\(\operatorname{tr}(A)$ 等于线性变换 \(A$ 在某基下矩阵的迹，与基无关；
- 行列式：\(\det(A)$ 等于线性变换 \(A$ 在某基下矩阵的行列式，与基无关。
4求矩阵特征值与特征向量的步骤 ⏱ 06:40
标准步骤（考试必考，送分题）
- 第一步：计算特征多项式 \(f(\lambda)=\det(\lambda I-A)$。（利用第二章行列式计算方法）
- 第二步：求 \(f(\lambda)=0$ 在 \(F$ 中的全部根，即为矩阵 \(A$ 的全部特征值 \(\lambda_1,\lambda_2,\dots$。
- 第三步：对每一个特征值 \(\lambda_i$，求解齐次线性方程组：
\[ (\lambda_i I - A)X = 0 \]
求出其解空间的一组基础解系 \(\alpha_{i1},\alpha_{i2},\dots$。则 \(A$ 的属于 \(\lambda_i$ 的全部特征向量为：
\[ k_1\alpha_{i1} + k_2\alpha_{i2} + \cdots, \quad \text{其中 }k_1,k_2,\dots\in F\text{，不全为零}. \]
注意：特征向量必须非零，所以系数不能全为零。⏱ 08:05
5环上矩阵简介 ⏱ 04:18
特征矩阵 \(\lambda I-A$ 的元素是多项式（如 \(\lambda-a_{ii}$ 是一次多项式），而非域 \(F$ 中的数。丘老师简要介绍了这种矩阵：
环上矩阵的概念
设 \(R=F[\lambda]$ 是 \(F$ 上的一元多项式环。矩阵 \(\lambda I-A$ 的元素都在 \(R$ 中，因此它是一个环 \(R$ 上的矩阵。
- 加法和乘法定义与数域上的矩阵完全相同；
- 行列式定义也相同：取不同行不同列元素乘积的代数和；
- 结果是一个多项式（即特征多项式）。
★重点回顾
1
特征值等价性：\(\lambda_0$ 是线性变换 \(A$ 的特征值 \(\Leftrightarrow\)\(\lambda_0$ 是其矩阵 \(A$ 的特征值。
2
特征多项式：\(f(\lambda)=\det(\lambda I-A)$，是 \(n$ 次首一多项式；\(\lambda_0$ 是特征值 \(\Leftrightarrow f(\lambda_0)=0$。
3
基无关性：特征多项式、迹、行列式都是线性变换的不变量，不依赖于基的选择。
4
求法：计算 \(\det(\lambda I-A)$ → 求根得特征值 → 对每个特征值解 \((\lambda_i I-A)X=0$ 得特征向量。
5
特征向量条件：系数不能全为零，否则得到零向量，不构成特征向量。
⚠易错点提醒
常见错误
- 忘记特征向量非零：求特征向量时，基础解系的线性组合中系数不能全为零。
- 特征多项式写成 \(\det(A-\lambda I)$ 而非 \(\det(\lambda I-A)$：二者最多相差符号 \((-1)^n$，根相同，但标准形式是 \(\det(\lambda I-A)$（首一多项式）。
- 混淆特征值与特征向量：特征值是数（多项式的根），特征向量是向量（齐次方程组的非零解）。
- 无限维情形不适用：本集所有结论只在有限维成立，无限维线性变换的特征值问题非常复杂。
- 特征值不在基域 F 中：如 \(F=\mathbb{R}$，而特征值是虚数，则实数域上该特征值不存在。
✎自测与作业
- 求矩阵 \(A=\begin{pmatrix} 2&1\\0&3 \end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量。
- 求矩阵 \(A=\begin{pmatrix} 1&2\\2&1 \end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量。
- 求矩阵 \(A=\begin{pmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\0&0&3 \end{pmatrix}$ 的全部特征值和特征向量。
- 证明：若 \(\lambda$ 是 \(A$ 的特征值，则 \(\lambda^2$ 是 \(A^2$ 的特征值，且对应的特征向量相同。
- （思考）设 \(A$ 是 \(n$ 阶矩阵，证明 \(\det(A)$ 等于 \(A$ 的所有特征值的乘积（重根按重数计）。
- （选做）用 Cayley-Hamilton 定理验证：矩阵满足其自身的特征方程（下一集预告）。
下一集预告
第 P98 集：继续讨论特征值与矩阵特征值的关系，引入Cayley-Hamilton 定理——每个方阵满足其自身的特征方程，即 \(f(A)=0$。