高等代数 · 第 P98 集 · 十三：特征多项式、主子式、矩阵特征多项式

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◎学习目标

理解矩阵特征多项式的定义 \(f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)\)；
证明相似矩阵有相同的特征多项式，从而线性变换的特征多项式与基的选取无关；
掌握特征多项式系数与主子式的关系：\(\lambda^{n-k}\) 项系数为 \((-1)^k\) 乘以所有 \(k\) 阶主子式之和；
理解特征多项式首项系数为 1、\(\lambda^{n-1}\) 项系数为 \(-\operatorname{tr} A\)、常数项为 \((-1)^n \det A\) 的含义；
了解特征值在物理（量子力学本征值/本征态）、音乐、共振等领域的实际应用。

1相似矩阵的特征多项式相等 ⏱ 00:00

本集从上一个问题出发：设 \(\mathcal{A}\) 为 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换，在基 \(G\) 下取矩阵 \(A\)，在另一基 \(G'\) 下取矩阵 \(B\)。由于同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的（即存在可逆矩阵 \(P\) 使得 \(B = P^{-1}AP\)），因此只要研究相似矩阵的特征多项式是否相同。⏱ 00:35

命题 1 · 相似矩阵有相同特征多项式设 \(A, B\) 为 \(F\) 上的 \(n\) 阶矩阵，若 \(A\) 与 \(B\) 相似（即 \(B = P^{-1}AP\)，\(P\) 可逆），则 \(f_A(\lambda) = f_B(\lambda)\)，从而 \(A\) 与 \(B\) 有相同的特征值（根按重数计算）。⏱ 00:47

证明过程

由于 \(B = P^{-1}AP\)，有：

f_B(\lambda) = \det(\lambda I - B) = \det(\lambda I - P^{-1}AP).

由于 \(\lambda I\) 是数量矩阵，与任何矩阵可交换（即 \(P^{-1}(\lambda I)P = \lambda I\)），故 ⏱ 01:21

\lambda I - P^{-1}AP = P^{-1}(\lambda I)P - P^{-1}AP = P^{-1}(\lambda I - A)P.

由行列式乘法公式 \(\det(XYZ) = \det X \cdot \det Y \cdot \det Z\)（在 \(F[\lambda]\) 上同样成立，证明与数域上一致），有 ⏱ 03:30

f_B(\lambda) = \det\!\bigl(P^{-1}(\lambda I - A)P\bigr) = \det P^{-1} \cdot \det(\lambda I - A) \cdot \det P.

而 \(\det P^{-1} = (\det P)^{-1}\)，故 \(\det P^{-1} \cdot \det P = 1\)，于是 ⏱ 04:33

f_B(\lambda) = f_A(\lambda).

证毕。

老师说明"相似矩阵的特征多项式相等，从而有相同的特征值（从根按重数计算）——特征值是特征多项式在 \(F\) 中的根，多项式相等，根自然相同。" ⏱ 05:13

推论 · 相似不变量增加相似关系下新的不变量：特征多项式、特征值（按重数）。加上此前已知的秩、迹、行列式等，相似不变量增至五个。注意：五个全相等并不意味着两矩阵相似（相似 ⇒ 五量相等，反之不成立）。⏱ 05:53

2特征多项式与主子式 ⏱ 06:40

设 \(A = (a_{ij})\) 为 \(F\) 上的 \(n\) 阶矩阵，其特征多项式为：

f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix}.

完整计算过程：行列式拆项法

第一步：拆项。将 \(\lambda I - A\) 的每一列写成两组数之差（或之和），利用行列式性质（某列的倍数加到另一列不改变值），将行列式拆成 \(2^n\) 个行列式。⏱ 07:45

拆完后，每列要么含 \(\lambda\)（来自主对角元），要么不含 \(\lambda\)（来自 \(-a_{ij}\)）。按"含 \(\lambda\) 的列数"分类：

情况 1：所有 \(n\) 列都含 \(\lambda\)。主对角线上有 \(n\) 个 \(\lambda\)，行列式值为 \(\lambda^n\)。⏱ 09:10

情况 2：没有任何列含 \(\lambda\)。每一列提一个 \(-1\)，提完 \(n\) 个 \(-1\) 后得 \((-1)^n \det A\)，即常数项。⏱ 09:53

情况 3（一般情形）：恰好 \(n-k\) 列含 \(\lambda\)，\(k\) 列不含 \(\lambda\)。含 \(\lambda\) 的列形如 \((0, \lambda, 0, \dots)^T\)，不含 \(\lambda\) 的列形如 \((-a_{i,j}, -a_{2,j}, \dots, -a_{n,j})^T\)。按含 \(\lambda\) 的那 \(n-k\) 列展开，只有一个项非零（每列只能取 \(\lambda\) 所在行），得到的项为：

\lambda^{n-k} \cdot (-1)^k \cdot \det\!\bigl(A_{\substack{i_1',\dots,i_k' \\ j_1',\dots,j_k'}}\bigr),

其中 \(A_{\substack{i_1',\dots,i_k' \\ j_1',\dots,j_k'}}\) 是 \(A\) 的 \(k\) 阶主子式（取第 \(i_1',\dots,i_k'\) 行和第 \(j_1',\dots,j_k'\) 列，且行指标 = 列指标）。⏱ 11:05

把所有满足 \(1 \le i_1' < i_2' < \cdots < i_k' \le n\) 的子指标组对应的主子式求和，就得到 \(\lambda^{n-k}\) 项的完整系数。

定理 · 特征多项式系数公式 \(F\) 上 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 的特征多项式为 \(n\) 次首一多项式：

f_A(\lambda) = \lambda^n - (\operatorname{tr} A)\,\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^k \!\!\sum_{1 \le i_1' < \cdots < i_k' \le n} \det A_{\substack{i_1',\dots,i_k' \\ i_1',\dots,i_k'}} \lambda^{n-k} + \cdots + (-1)^n \det A,

即 \(\lambda^{n-k}\) 项的系数为 \((-1)^k\) 乘以 \(A\) 的所有 \(k\) 阶主子式之和。⏱ 13:26

主子式的定义

设 \(A = (a_{ij})\) 为 \(n\) 阶矩阵。取 \(1 \le i_1' < i_2' < \cdots < i_k' \le n\)，把 \(A\) 中第 \(i_1', i_2', \dots, i_k'\) 行和第 \(i_1', i_2', \dots, i_k'\) 列的元素组成的 \(k\) 阶子式称为 \(A\) 的 \(k\) 阶主子式（Principal Minor）。关键特征：行指标与列指标完全相同。⏱ 16:37

各阶系数速查

\(\lambda^n\) 项：系数为 \(1\)（首一）；
\(\lambda^{n-1}\) 项：\((-1)^1 \sum_i a_{ii} = -\operatorname{tr} A\)（所有 1 阶主子式即对角元之和）；
\(\lambda^0\)（常数项）：\((-1)^n \det A\)（\(n\) 阶主子式就是 \(A\) 本身）；
一般项 \(\lambda^{n-k}\)：\((-1)^k\) 乘以所有 \(k\) 阶主子式之和。

⏱ 18:13

实用提示计算特征多项式时通常不必套此公式，而是按行列式化零展开法直接计算。此公式主要用于理论分析（理解特征值与迹、行列式的关系）以及习题课/作业题中的证明。⏱ 19:00

3迹、行列式与特征值 ⏱ 18:33

由上节的系数公式，可以立即读出两个重要恒等式（设 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) 为 \(f_A(\lambda)\) 在 \(F\) 中的根，即特征值）：

恒等式 1 · 迹等于特征值之和

\operatorname{tr} A = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i.

（由 \(\lambda^{n-1}\) 项系数 \(-\operatorname{tr} A\) 与韦达定理：\(n\) 个根之和 \(= -\frac{a_{n-1}}{a_n}\)。）⏱ 19:15

恒等式 2 · 行列式等于特征值之积

\det A = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i.

（由常数项 \((-1)^n \det A\) 与 \(n\) 个根之积 \(= (-1)^n \cdot \frac{a_0}{a_n}\)。）⏱ 19:45

注意这两个恒等式是相似不变量的自然体现：迹和行列式在相似变换下不变（\(\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(A)\)，\(\det(P^{-1}AP) = \det A\)），特征值（按重数）也是相似不变量，因此"特征值之和 = 迹"对任何基都成立。⏱ 20:10

4特征值的应用背景 ⏱ 21:00

丘老师在课堂上特别提到特征值/特征向量在多学科中的应用，鼓励同学们体会其重要性：

应用举例

量子力学：物理中的"本征值/本征态"即对应特征值/特征向量。四年级学理论物理时会用到，"丘老师高等代数讲过这个"。⏱ 21:16
音乐：音程的和谐性与特征值有关，丘老师课程网站第五章"音乐小天地"有专门讲解。⏱ 22:02
共振：美国一座桥（塔科马吊桥）的坍塌与共振频率（即特征值）有关。⏱ 22:16

老师寄语 "到了四年级学理论物理的时候你要反应过来——丘老师高等代给你讲过了这个特征值、特征向量。你别说'没讲过高等代数'，你学完就忘了，不过我没讲过。因为你是物理学人，我在讲；数学学我就不一定讲。"⏱ 21:30

★重点回顾

特征多项式定义：\(f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)\) 是 \(n\) 次首一多项式，首项系数为 1。

相似不变性：\(A \sim B \Rightarrow f_A(\lambda) = f_B(\lambda)\)，特征值是相似不变量；与基的选取无关。

主子式系数公式：\(\lambda^{n-k}\) 项系数 \(= (-1)^k \times\) 所有 \(k\) 阶主子式之和。特别地：\(\lambda^{n-1}\) 项 \(= -\operatorname{tr} A\)，常数项 \(= (-1)^n\det A\)。

迹-特征值关系：\(\operatorname{tr} A = \sum \lambda_i\)；行列式-特征值关系：\(\det A = \prod \lambda_i\)。

相似不变量清单（本集后）：秩、迹、行列式、特征多项式、特征值（按重数）——五个不变量全相等不能保证相似。

⚠易错点提醒

常见错误

主子式 vs 普通子式：主子式要求行指标 = 列指标，普通子式只要行号与列号对应即可。混淆两者会算错系数公式。
特征多项式记法：本课程定义 \(f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)\)（而非 \(\det(A - \lambda I)\)），因此首项为 \(+\lambda^n\)（首一）。若用 \(\det(A - \lambda I)\)，首项变为 \((-1)^n \lambda^n\)，符号会不同。务必与教材定义一致。
"相似 ⇒ 五量相等"反过来不成立：两个矩阵可以秩、迹、行列式、特征多项式、特征值（按重数）全部相等但不同相似类（例如 Jordan 块结构不同）。判断相似需进一步看 Jordan 标准形。
\(\det P^{-1} \cdot \det P = 1\) 的前提：\(P\) 可逆（即 \(\det P \neq 0\)）。相似关系要求 \(P\) 可逆，证明中已用此条件。
\(F[\lambda]\) 上行列式乘法：证明中用到 \(\det(XYZ) = \det X \cdot \det Y \cdot \det Z\) 在多项式环上成立。虽然证明是在数域上做的，但逐项相同，可照搬到 \(F[\lambda]\) 上（老师明确说明了这一点）。

✎自测与作业

设 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)，求 \(f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)\)，并验证：\(\operatorname{tr} A = \lambda_1 + \lambda_2\)，\(\det A = \lambda_1 \lambda_2\)。
设 \(B = P^{-1}AP\)，其中 \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。证明 \(f_B(\lambda) = f_A(\lambda)\)（直接计算验证）。
对 \(n\) 阶矩阵 \(A\)，写出 \(\lambda^{n-2}\) 项系数公式：\((-1)^2 \times\) 所有 2 阶主子式之和。以 3 阶矩阵为例，列出所有 2 阶主子式并计算。
（证明）设 \(A\) 为 \(n\) 阶上三角矩阵 \(\begin{pmatrix} a_{11} & * & \cdots & * \\ 0 & a_{22} & \cdots & * \\ \vdots & 0 & \ddots & * \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\)，证明 \(f_A(\lambda) = \prod_{i=1}^{n}(\lambda - a_{ii})\)，从而特征值为 \(a_{11}, \dots, a_{nn}\)。
（思考）\(f_A(\lambda)\) 在 \(F = \mathbb{R}\)（实数域）上是否一定能分解为一次因子的乘积？若 \(A\) 的特征多项式为 \(\lambda^2 - 1\)（可分解）与 \(\lambda^2 + 1\)（不可分解），分别说明其对可对角化的影响（为下集做铺垫）。
（选做）用本集系数公式计算 3 阶矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) 的特征多项式，验证 \(\lambda^{n-1}\) 项系数 \(= -\operatorname{tr} A = -3\)，常数项 \(= (-1)^3\det A = -1\)。

下一集预告第 P99 集 · 十四：可对角化与特征子空间直和——线性变换可对角化的定义与五个充分必要条件。