高等代数 · 第 P99 集 · 十四：可对角化与特征子空间直和

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◎学习目标

理解线性变换可对角化的定义：存在一组基使得矩阵为对角矩阵；
掌握线性变换 \(A\) 可对角化的六个等价条件（定义 + 五个充分必要条件）；
理解特征子空间 \(V_{\lambda_i}\) 的直和分解 \(V = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_s}\)；
掌握代数重数与几何重数的定义及关系：可对角化 \(\Leftrightarrow\) 每个特征值的代数重数 = 几何重数；
体会"用线性变换研究线性空间结构"的思想——可对角化意味着整个空间被分解为特征子空间的直和。

1可对角化的定义与动机 ⏱ 00:00

定义 · 线性变换可对角化设 \(V\) 为 \(n\) 维 \(F\) 空间上的线性空间，\(\mathcal{A}\) 为 \(V\) 上的线性变换。\(\mathcal{A}\) 可对角化（简称"可对角化"），若存在 \(V\) 的一组基 \(G: \alpha_1, \dots, \alpha_n\)，使得 \(\mathcal{A}\) 在 \(G\) 下的矩阵为对角矩阵（即对角线以外全为 0）。⏱ 03:31

丘老师在推导前先做了一个"探索性"的动机讨论：

动机 · 为什么想对角化最简单的矩阵是单位矩阵（对应恒等变换），次简单的是数量矩阵 \(kI\)（对应数乘变换 \(k\cdot\)）。再"退一步"就是对角矩阵（对角线上 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\)，其余为 0）。对角矩阵在应用上最简单：

D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n).

如果能在某组基下使线性变换的矩阵变为对角矩阵，计算和理论分析都会大大简化。⏱ 02:47

注意不是所有线性变换都可对角化——"不可能每一个线性变换都那么好"。⏱ 05:35 本集的任务就是探索"什么条件下才能对角化"。

2条件一、二：特征向量组与特征子空间 ⏱ 06:34

从定义出发：若 \(\mathcal{A}\) 在基 \(G: \alpha_1, \dots, \alpha_n\) 下的矩阵为对角矩阵 \(\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\)，则矩阵-向量乘法给出：

\mathcal{A}(\alpha_1) = \lambda_1 \alpha_1, \quad \mathcal{A}(\alpha_2) = \lambda_2 \alpha_2, \quad \dots, \quad \mathcal{A}(\alpha_n) = \lambda_n \alpha_n.

即 \(\alpha_i\) 是 \(\mathcal{A}\) 属于特征值 \(\lambda_i\) 的特征向量，\(\lambda_i\) 是 \(\mathcal{A}\) 的特征值。⏱ 08:24

条件 1 · 存在特征向量组基 \(V\) 中存在由 \(\mathcal{A}\) 的特征向量组成的一组基（即 \(V\) 的某个基中每个向量都是 \(\mathcal{A}\) 的特征向量）。⏱ 10:34

条件 1 的等价改写（利用"基 = \(n\) 个线性无关向量"）：

条件 2 · 有 \(n\) 个线性无关的特征向量线性变换 \(\mathcal{A}\) 在 \(V\) 上有 \(n\) 个线性无关的特征向量。⏱ 11:28

探索过程丘老师强调本集是带着同学探索而非直接给出定理证明。每一步推导都要学生自己能写出来，"像旅游一样"，"每个环节怎么推出来的，数学一定要把道理搞清楚才记得住"。⏱ 12:50

3条件三、四：特征子空间的基 ⏱ 12:41

设 \(\mathcal{A}\) 的所有互不相同的特征值为 \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s\)（共 \(s\) 个），对应的特征子空间为：

V_{\lambda_i} = \{\, \mathbf{v} \in V \mid \mathcal{A}(\mathbf{v}) = \lambda_i \mathbf{v} \,\}, \quad i = 1, 2, \dots, s.

从条件 2 出发：\(\mathcal{A}\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量。将它们的特征值分类（属于 \(\lambda_1\) 的 \(r_1\) 个，属于 \(\lambda_2\) 的 \(r_2\) 个，\(\dots\)，属于 \(\lambda_s\) 的 \(r_s\) 个），则 \(r_1 + r_2 + \cdots + r_s = n\)。⏱ 13:21

关键证明步骤：每组特征向量恰好构成对应特征子空间的基

（必要性）若 \(V_{\lambda_j}\) 中的 \(r_j\) 个特征向量 \(\alpha_{j,1}, \dots, \alpha_{j,r_j}\) 不是 \(V_{\lambda_j}\) 的基（即它们不是基），则存在 \(\beta_j \in V_{\lambda_j}\) 不能由它们线性表出。把 \(\beta_j\) 加入后，\(\alpha_{j,1}, \dots, \alpha_{j,r_j}, \beta_j\) 线性无关。⏱ 15:36

又由于属于不同特征值的特征向量组线性无关（上一节课已证），把它们全部合起来：\(\alpha_{1,1}, \dots, \alpha_{1,r_1}, \alpha_{2,1}, \dots, \alpha_{2,r_2}, \beta_2, \alpha_{3,1}, \dots\)，总数为 \(r_1 + \cdots + (r_j + 1) + \cdots + r_s = n + 1\)，线性无关。但 \(V\) 只有 \(n\) 维，\(n+1\) 个向量必线性相关——矛盾。⏱ 17:03

因此每组特征向量恰好构成对应特征子空间的基。即：

\alpha_{i,1}, \alpha_{i,2}, \dots, \alpha_{i,r_i} \quad \text{是} \quad V_{\lambda_i} \text{ 的一组基}, \quad i = 1, \dots, s.

⏱ 18:24

条件 3 · 特征子空间的基合起来是 \(V\) 的基设 \(\lambda_1, \dots, \lambda_s\) 为 \(\mathcal{A}\) 的所有互异特征值。则 \(V_{\lambda_1}\) 的基、\(V_{\lambda_2}\) 的基、\(\dots\)、\(V_{\lambda_s}\) 的基合起来是 \(V\) 的一组基。

\underbrace{\alpha_{1,1}, \dots, \alpha_{1,r_1}}_{V_{\lambda_1} \text{ 基}} \;\cup\; \underbrace{\alpha_{2,1}, \dots, \alpha_{2,r_2}}_{V_{\lambda_2} \text{ 基}} \;\cup\; \cdots \;\cup\; \underbrace{\alpha_{s,1}, \dots, \alpha_{s,r_s}}_{V_{\lambda_s} \text{ 基}} \quad \text{是 } V \text{ 的基}.

⏱ 20:48

条件 4 · 特征子空间维数之和 = \(\dim V\) \[ \dim V_{\lambda_1} + \dim V_{\lambda_2} + \cdots + \dim V_{\lambda_s} = \dim V = n. \] 其中每个 \(\lambda_i\) 的特征子空间维数 \(\dim V_{\lambda_i}\) 即该特征值的几何重数。 ⏱ 21:59

4条件五：特征子空间直和 ⏱ 21:30

条件 5 · 特征子空间的直和等于 \(V\) 线性变换 \(\mathcal{A}\) 可对角化，当且仅当

V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_s}.

即 \(V\) 等于所有互异特征值对应的特征子空间的直和。⏱ 22:47

证明（双向）

必要性：由条件 3，\(V_{\lambda_1}\) 的基、\(\dots\)、\(V_{\lambda_s}\) 的基合起来是 \(V\) 的基。因此 \(V\) 中任一向量可唯一地由各特征子空间中向量的和线性表出，即 \(V = V_{\lambda_1} + \cdots + V_{\lambda_s}\)。⏱ 22:52

又由于属于不同特征值的特征向量线性无关（上节课定理 1 的推论，逐次归纳法），任意两个特征子空间的交为 \(\{0\}\)（即直和条件 \(V_{\lambda_i} \cap (V_{\lambda_j} + \cdots) = \{0\}\)），因此该和为直和。必要性得证。

充分性：若 \(V = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_s}\)，则各 \(V_{\lambda_i}\) 的基合起来是 \(V\) 的基（直和的维数相加 = \(\dim V\)），从而回到条件 3，故 \(\mathcal{A}\) 可对角化。充分性得证。⏱ 23:21

思想意义丘老师特别强调：线性变换可对角化意味着整个空间 \(V\) 被分解为各特征子空间的直和——"这是利用线性变换研究线性空间结构的体现"，把大空间 \(V\) 分解为小空间（各特征子空间）。⏱ 24:11

5条件六：代数重数 = 几何重数 ⏱ 23:00

由条件 5 的直和，取最简单情形：设 \(\mathcal{A}\) 在基 \(G\)（由 \(V_{\lambda_1}\) 基、\(\dots\)、\(V_{\lambda_s}\) 基合起来）下的矩阵为对角矩阵 \(\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_2, \dots, \lambda_s, \dots, \lambda_s)\)，其中 \(\lambda_i\) 出现 \(r_i\) 次（\(r_i = \dim V_{\lambda_i}\)）。⏱ 23:21

计算该对角矩阵的特征多项式：

\[ f_{\mathcal{A}}(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{r_1} (\lambda - \lambda_2)^{r_2} \cdots (\lambda - \lambda_s)^{r_s}, \] 其中 \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s\) 两两不等，\(r_i = \dim V_{\lambda_i}\)。⏱ 24:42

定义 · 代数重数与几何重数

代数重数（algebraic multiplicity）：特征值 \(\lambda_i\) 作为 \(f_{\mathcal{A}}(\lambda)\) 的根的重数，即上式中 \(r_i\)；
几何重数（geometric multiplicity）：\(\dim V_{\lambda_i}\)，即特征子空间的维数。

由本集推导可知，可对角化时 \(r_i = \dim V_{\lambda_i}\)，即每个特征值的代数重数 = 几何重数。⏱ 25:30

条件 6 · 特征多项式分解与代数/几何重数线性变换 \(\mathcal{A}\) 可对角化，当且仅当：

\(f_{\mathcal{A}}(\lambda)\) 在 \(F[\lambda]\) 中可分解为一次因子的乘积；
每个特征值的代数重数等于几何重数，即 \(\lambda_i\) 的代数重数 \(=\dim V_{\lambda_i}\)。

⏱ 26:30

充要性证明（简）

充分性：若 \(f_{\mathcal{A}}(\lambda) = \prod_{i=1}^{s}(\lambda - \lambda_i)^{r_i}\) 且 \(r_i = \dim V_{\lambda_i}\)，则 \(\dim V_{\lambda_1} + \cdots + \dim V_{\lambda_s} = r_1 + \cdots + r_s = \deg f_{\mathcal{A}} = n = \dim V\)。由条件 4（特征子空间维数之和 \(=\dim V\)）\(\Rightarrow\) 可对角化。

必要性：由条件 5 知 \(V = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_s}\)，对角矩阵的特征多项式即为 \(\prod(\lambda - \lambda_i)^{r_i}\)，其中 \(r_i = \dim V_{\lambda_i}\)，故一次因子分解成立且代数重数 = 几何重数。⏱ 27:36

重要说明 · 可分解性不是自动满足的

若 \(F = \mathbb{R}\)（实数域），判别式 \(< 0\) 的二次多项式不可分，则特征多项式不能全部分解为一次因子，对应的线性变换不可能在 \(\mathbb{R}\) 上可对角化；
若 \(F = \mathbb{C}\)（复数域），由代数学基本定理，任何多项式均可分，故只需验证代数重数 = 几何重数；
即使在 \(\mathbb{C}\) 上，也并非所有线性变换都可对角化——几何重数可以小于代数重数（思考题要求证明 \(\dim V_{\lambda_i} \le r_i\) 恒成立）。

⏱ 27:48

★重点回顾

可对角化定义：\(\exists\) 基 \(G\) 使得 \(\mathcal{A}\) 在 \(G\) 下的矩阵为对角矩阵。

条件 1：\(V\) 中存在由 \(\mathcal{A}\) 的特征向量组成的一组基。

条件 2：\(\mathcal{A}\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量（\(n = \dim V\)）。

条件 3：各 \(V_{\lambda_i}\) 的基合起来是 \(V\) 的基。

条件 4：\(\sum_{i=1}^{s} \dim V_{\lambda_i} = \dim V\)。

条件 5（核心）：\(V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_s}\)（特征子空间直和等于 \(V\)）。

条件 6：\(f_{\mathcal{A}}(\lambda) = \prod(\lambda - \lambda_i)^{r_i}\) 且 \(r_i = \dim V_{\lambda_i}\)（每个特征值的代数重数 = 几何重数）。

⚠易错点提醒

常见错误

几何重数 = 特征子空间维数，不是特征向量的个数：\(V_{\lambda_i}\) 的维数 \(\dim V_{\lambda_i}\) 是该特征子空间中线性无关特征向量的最大个数（即基的向量数），不是"所有特征向量的个数"（后者无穷多）。
不同特征值的特征向量线性无关——必须"按特征值分组"：条件 3 的证明中，属于 \(\lambda_j\) 的 \(r_j\) 个特征向量构成 \(V_{\lambda_j}\) 的基，这依赖于"不同特征值的特征向量线性无关"定理。如果错误地认为"属于同一特征值的特征向量也可线性无关组成基"而不验证维数，就会出错。
\(V = V_{\lambda_1} + \cdots + V_{\lambda_s}\) ≠ \(V = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_s}\)：必须验证"交为 \(\{0\}"（直和条件）。不同特征值的特征子空间交必为 \(\{0\}\)（因为 \(\mathcal{A}(\mathbf{v}) = \lambda_i \mathbf{v} = \lambda_j \mathbf{v}\)，\(\lambda_i \neq \lambda_j\)，故 \(\mathbf{v} = 0\)），但和为 \(V\) 需要维度验证。
条件 6 不是万能判据：即使特征多项式在 \(\mathbb{C}\) 上可分，若某特征值的几何重数 \(<\) 代数重数（例如 Jordan 块 \(\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}\)，\(\lambda\) 的代数重数 = 2 但几何重数 = 1），仍不可对角化。
五个条件不等价于"五个相似不变量全相等"：相似矩阵的五个不变量（秩、迹、行列式、特征多项式、特征值按重数）全相等是相似的必要而非充分条件；对角化是关于基变换的充分必要条件，二者是完全不同的两个命题。

✎自测与作业

设 \(\mathcal{A}\) 为 3 维空间上的线性变换，特征值为 \(0, 1, 2\)（互异），证明 \(\mathcal{A}\) 一定可对角化。（提示：互异特征值 ⇒ 特征子空间维数至少各为 1，之和 \(= 3 = \dim V\)）
设 \(n\) 维空间上的线性变换 \(\mathcal{A}\) 有特征值 \(\lambda_1 = 0\)（几何重数 1）和 \(\lambda_2 = 1\)（几何重数 1），且 \(n = 3\)。判断 \(\mathcal{A}\) 是否一定可对角化，并说明理由。
（思考题·必做）证明：对 \(n\) 维线性空间上的任意线性变换 \(\mathcal{A}\)，任一特征值 \(\lambda_i\) 的几何重数 \(\dim V_{\lambda_i} \leqslant\) 代数重数 \(r_i\)（特征值作为 \(f_{\mathcal{A}}\) 根的重数）。
设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)，求 \(f_A(\lambda)\)，判断 \(A\) 在 \(\mathbb{C}\) 上是否可对角化。（提示：\(f_A(\lambda) = (\lambda-1)^2\)，代数重数 = 2，但 \((A - I)\mathbf{x} = 0\) 只有 1 维解空间）
（选做）验证：若 \(A\) 为对角矩阵 \(\operatorname{diag}(2,2,5)\)，其特征多项式 \(f_A(\lambda) = (\lambda-2)^2(\lambda-5)\)，特征值 2 的代数重数 = 2，几何重数 = 2（因为 \(\ker(A-2I)\) 维数 = 2），特征值 5 的代数重数 = 1，几何重数 = 1。说明 \(A\) 可对角化（本身已是对角形式）。
（选做）结合本集条件 5，证明：若 \(V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2}\) 且 \(\dim V_{\lambda_1} = 2\)，\(\dim V_{\lambda_2} = 3\)，则 \(\dim V = 5\)，且 \(\mathcal{A}\) 在由 \(V_{\lambda_1}, V_{\lambda_2}\) 的基合起来组成的基下为对角矩阵 \(\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_1, \lambda_2, \lambda_2, \lambda_2)\)。

下一集预告第 P100 集 · 十五：线性变换的特征多项式、可对角化相似对角矩阵——矩阵可对角化的判定方法与相似对角化步骤。